Matematické Fórum

FliegenderZirkus · 13. 05. 2010 12:19

Ahoj, můj dotaz se týká gradientu funkce, především pak toho, jak jej interpretovat. Že udává směr nejrychlejšího růstu funkce vím, skripta a Wikipedii jsem četl, ale uvedeným zdůvodněním jsem nerozuměl. Nejlepší asi bude uvést můj myšlenkový pochod :-) :

- uvažuju funkci dvou proměnných v nějakém bodě, ve kterém je diferencovatelná
- spočítám derivace ve směrech $\hat{i}$ a $\hat{j}$
- sestavím vektor, jehož složky jsou výše zmíněné derivace

Co je na tomhle vektoru tak zvláštního, tj. proč udává směr „nejrychlejšího růstu”? Co kdybych si místo směrů v osách x a y vybral jiné jednotkové vektory a obdobu gradientu sestavil z nich? Není mi prostě jasný ten přechod od hodnoty derivace (což je skalár) ke směru růstu. Je zřejmé, že když jsou derivace ve směrech nějakých dvou linerálně nezávislých vektorů nulové, tak jde o stacionární bod (nejjednodušší je uvažovat parciální derivace podle x a y), což jde zapsat pomocí toho gradientu (je nulový), ale ostatní případy mi jasné nejsou. Předem děkuju za váš čas, Honza

pietro · 13. 05. 2010 13:59

↑ FliegenderZirkus:Zdravim a posielam nejake pictures AAA
BBB

Rumburak

↑ FliegenderZirkus:
Vezměme případ funkce $z=f(x,y)$ dvou proměnných, která má v bodě $C=[a, b]$ nenulový totální difetenciál, jímž je nenulová
lineární forma $L(h,k) \,=\, \frac{\partial f (C)}{\partial x}\, h \,+\,\frac{\partial f (C)}{\partial y}\, k$ .

Tečná rovina T ke grafu fce f v bodě $[C,f(C)]$ má rovnici $z \,=\, f (C) \,+\, L(x-a, y-b)$ a je různoběžná s rovinou S o rovnici $z=0$ .

V rovině T leží právě jedna přímka p, která prochází bodem $[C,f(C)]$ a je rovnoběžná s rovinou S (tedy p je v rovině T "vrstevnicí"
procházející bodem $[C,f(C)]$ ) . Nechť q je přímka, která je kolmým průmětem přímky p do roviny S (tedy "půdorysem" přímky p) .
Rovnici přímky q v rovině S dostaneme ze soustavy

$z = f (C) + L(x-a, y-b)$ , $z = f (C)$ ,

přímka q (ležící v rovině S) je tedy určena rovnicí $L(x-a, y-b) = 0$ , neboli $\frac{\partial f (C)}{\partial x}\, (x-a) \,+\,\frac{\partial f (C)}{\partial y}\, (y-b) \,=\,0$ .

Z této rovnice je patrné, že vektor $\text{grad} f(C) = $\frac{\partial f (C)}{\partial x},\,\frac{\partial f (C)}{\partial y}$$ je normálovým vektorem přímky q, tedy vektorem kolmým k přímce q.

Rovina Q vedená bodem C a kolmá k přímce q (v rovině Q tedy "leží" i vektor grad f(C) ) protne rovinu T v přímce , kterou označme r.
Přímka r se v bodě $[C,f(C)]$ protne s vrstevnicí p a je k ní kolmá . Přímka r je proto spádovou přímkou (přímkou největšího spádu)
roviny T v bodě $[C,f(C)]$ , její kolmý průmět w do roviny S je kolmý k přímce q, tudíž grad f(C) je směrovým vektorem přímky w.
Z faktu, že tečná rovina T v ololí bodu $[C,f(C)]$ aproximuje plochu o rovnici $z=f(x,y)$ , plyne zbytek.

FliegenderZirkus · 13. 05. 2010 20:45

↑ Rumburak:
Už to asi mám. Kdybych v rovině xy nakreslil izokřivku $f(x,y)=f(C)$ , tak přímka q bude její tečna a gradient na ni bude vždy kolmý. Správně?

↑ pietro:
Hlavně ten první odkaz je poučný, dík. MIT má vůbec skvělé materiály, našel jsem i záznam přednášky k téhle problematice: OCW

pietro · 13. 05. 2010 21:38

↑ FliegenderZirkus:dakujem za link :-)

Rumburak · 14. 05. 2010 09:30

↑ FliegenderZirkus:
Ano , to je ono.

Matematické Fórum

#1 13. 05. 2010 12:19

Geometrický význam gradientu

#2 13. 05. 2010 13:59

Re: Geometrický význam gradientu

#3 13. 05. 2010 14:15 — Editoval Rumburak (13. 05. 2010 15:30)

Re: Geometrický význam gradientu

#4 13. 05. 2010 20:45

Re: Geometrický význam gradientu

#5 13. 05. 2010 21:38

Re: Geometrický význam gradientu

#6 14. 05. 2010 09:30

Re: Geometrický význam gradientu

Zápatí