Matematické Fórum

miroslavondrej · 16. 05. 2010 07:58

Zdravím Vás

Nevím si rady s příkladem
zadání: Hrany kvádru jsou po sobě jdoucí členy aritmetické posloupnosti s diferencí 6. Určete jejich velikost, jestliže objem kvádru je 640 cm3.
výsledek: a1 = 4, a2 = 10, a3 = 16
zkoušel jsem: vytvořit rovnice, kvadratickou rovnici, rozepisovat skoro vše
muj výsledek: popsaný sešit a výsledek žádný
prosím o radu

pietro · 16. 05. 2010 09:37 — Editoval pietro (16. 05. 2010 09:41)

↑ miroslavondrej:ahoj...a skusal si prosim riesit tuto rovnicu ? 640=a*(a+6)*(a+12) ==>jediny realny koren a=4.

byk7 · 16. 05. 2010 09:39

1. hrana: $x$
2. hrana: $x+6$
3. hrana: $(x+6)+6=x+12$
objem: $\rm{V}=640\,\rm{cm^3}$

$x(x+6)(x+12)=640 \nl x^3+18x^2+72x-640=0$

tohle buď vypočítáš strojově, nebo zkus aplikovat Cardanovy vzorce.

Výsledek Zobrazit/skrýt!

Krezz · 16. 05. 2010 09:42

$x(x-6)(x+6)=640\nl x(x^2-36)=640\nl x^3-36x-640=0\nl (x-10)(x^2+10x+64)=0\nl x=10\nl a=4\nl b=10\nl c=16\nl$

Honzc · 16. 05. 2010 09:50

Jak je známo je objem kvádru součinem délek jednotlivých velikostí hran
V=a*b*c
Tedy rovnice, která bude popisovat objem bude algebraická 3.stupně.
Nevím, jestli se na střední škole učí výpočet algebraické rovnice 3.stupně (ale asi ne)
Tak teď jde o to udělat si tu rovnici co nejjednodušší, aby jsme ji nějak rozumně vypočetli.
Navrhuji, označit prostřední člen aritmetické posloupnosti x.
Pak pro jednotlivé hrany kvádru platí:
nekratší hrana má délku x-6, prostřední x a nejdelší x+6.
Dosadíme do vzorce pro objem a mánme:
(x-6)x(x+6)=640
a tedy po úpravě:
(x^2-36)x=640 tj. x^3-36x-640=0
K řešení si stačí všimnout, (s využitím pythagorejského trojúhelníka 6,8,10),
že 360+640=1000 a tedy 36x=360, x=10 a 10^3=1000.
Pak délky hran jsou postupně 4,10,16 cm

miroslavondrej · 16. 05. 2010 10:18

rovnici: x^3+18x^2+72x-640=0 jsem po různých úpravach dostal již včera, ale tam mě pořát mátlo to x^3.

zatím mockrát děkuji za všechny návrhy a jdu se pustit do počítání

miroslavondrej · 16. 05. 2010 11:58

↑ byk7:zkoušel jsem Cardanovy vzorec, ale bohužel se nemůžu dostat k výsledku

jelena · 16. 05. 2010 12:42

↑ miroslavondrej:

Zdravím,

rovnice x^3+18x^2+72x-640=0, která vznika ze zápisu x, x+6, x+12 není moc pohodlná na úpravu (rozklad na činitele) - není to dobře vidět.

Rovnice, která vznikne, jak u kolegu ↑ Krezz:, ↑ Honzc: - tedy za x je označen prostřední člen a odečtu, přičtu diferenci, dostanu: (x-6)x(x+6)=640 je pohodlnější.

V nouzi, když ten rozklad není vidět, tak se dá 640 rozložit na činitele a uvažovat, že jeden z "levého" součínu musí být 10 (nebo násobek) a také dojit na výsledek - ale fakt, v nouzi.

Proto doporučuje se při řešení slovních úloh aritmetické (i geometrické) posloupnosti označovat prostřední člen za neznamou. Viz postup kolegů.

V pořádku? Děkuji.

Matematické Fórum

#1 16. 05. 2010 07:58

Aritmetická posloupnost

#2 16. 05. 2010 09:37 — Editoval pietro (16. 05. 2010 09:41)

Re: Aritmetická posloupnost

#3 16. 05. 2010 09:39

Re: Aritmetická posloupnost

#4 16. 05. 2010 09:42

Re: Aritmetická posloupnost

#5 16. 05. 2010 09:50

Re: Aritmetická posloupnost

#6 16. 05. 2010 10:18

Re: Aritmetická posloupnost

#7 16. 05. 2010 11:58

Re: Aritmetická posloupnost

#8 16. 05. 2010 12:42

Re: Aritmetická posloupnost

Zápatí