Matematické Fórum

zloutenka

Vím, je to to řešené na fóru, ale ať dosadím y = kx + q, nebo už vyjádřené, vychází mi v diskriminantu k^4 k^3 atd. (nejde ani hadat vysledek, ze bych delil)

Zadani:
bod M[2;1]
kuzelosecka: K: (x-5)^2 + (y-10)^2 = 9

postup chapu, akorat mi to proste na zadnym prikladu ciselne nevychazi (resp. mi vychazeji hausnumera v diskriminantu, nereciproky rovnice 4 stupne, kde ani nejde hadat koren) predem dekuji za odpovedi

EDIT: omlouvam se, uz jsem z toho pocitani zmagorelej, stred je samozrejme zadan S[5;10]

Krezz · 16. 05. 2010 20:38

je to zadani kompletni? Jelikoz me nejde do hlavy co resit, v zadani chybi totiz stred kruznice, tudiz si ji asi muzu posunout kam chci, ale v tom pripade bude mit nekonecne mnoho reseni v realnych cislem. V tom zadani musi bud dano kde ten bod lezi, jestli mimo, vne nebo se jen dotyka a nebo tam musi byt stred kuzelosecky.

zloutenka · 16. 05. 2010 20:39

↑ Krezz:
viz. EDIT

jelena · 16. 05. 2010 23:14

↑ zloutenka:

Zdravím,

řešila bych to tak: y = kx + q, po dosazení mám $y=kx-2k+1=k(x-2)+1$

dosazuji do rovnice kuželosečky:

$(x-5)^2 + (k(x-2)+1-10)^2 = 9$

$(x-5)^2 + (k(x-2)-9)^2 = 9$ , teď použiji substituci $(x-2)=z$

$(z-3)^2 + (kz-9)^2 = 9$ , hledám takové k, pro které D=0, vyšlo mi k=4/3 (bez záruky)

může být?

halogan · 16. 05. 2010 23:37

↑ zloutenka: ↑ jelena:

Jen upozorním na jednu věc. Pokud děláme tečnu z vnějšího bodu, musí nám vyjít dvě přímky. Tady je to trochu zrádné, protože ta druhá nebude ve tvaru $y = kx + q$ , ale bude hezky svislá.

Nabízím zbytečně složité řešení (lepší je to od milé kolegyně jeleny + vyčíst z obrázku tu druhou tečnu):

Vím, že tečna je kolmá na úsečku vedoucí ze středu té kružnice k bodu dotyku. Sestavím si tedy Thaletovu kružnici, která má střed uprostřed úsečky MS (kde S je střed té zadané kružnice). Poloměr bude takový, aby na kružnici ležely body M i S (to lze spočítat jednoduše z Pythagorovy věty).

Pak to nejlépe hodím do stroje, protože jsem líný a jsou tam zlomky. Směrnici spočítám podle poměru (z def. tangenty) stran a u druhé tečny zjistím, že je bez směrnice.

jelena · 17. 05. 2010 00:03 — Editoval jelena (17. 05. 2010 00:06)

↑ halogan:

děkuji, nějak nejsem si jistá, zda počítám dobře, když mi z toho nepadá 2 různá $k$ a druhé k musím domyslet z obrázku (pokud jsi nenapsal, tak jsem ani nedomyšlela).

EDIT: už vím, když nepadá, tak musím domyšlet, jinak to asi ani nejde. Děkuji.

OT: A také nevím o rychlovlaku (myslím, že v Opavě nemáme, cestou do práce mám toto). Zdravím :-)

Cheop · 17. 05. 2010 07:55 — Editoval Cheop (17. 05. 2010 10:44)

↑ jelena:
Zdravím:-)
Tečny:
$4x-3y-5=0\nlx=2$ (jak říká kolega ↑ halogan: je to zrádné)
Obrázek:

jelena · 17. 05. 2010 08:13

↑ Cheop:

Zdravím a děkuji :-)

Milý kolega Ondřej má daleko zásadnější metodickou poznámku - ne to, že to zradné, ale to, že se má řešit přes průník dvou kružnic. Obě dvě jsou řadně zadány. Jsem totiž trochu nespokojená, když mám v analytické geometrii neco představovat a kreslit. A návod od kolegy ↑ halogan: mi tento problém zcela řeší. Pravda, vyřešení soustavy rovníc, která vznikne, .... ale jsem potěšena, že v tom konečně mám metodicky jasno.

Moc vám děkuji.

zloutenka · 17. 05. 2010 08:49

Dekuji vsem.
Priklad mi sice nevysel (vychazi mi zaporny D pro k, nejspis numericka chyba, kterou nevidim), ale to nevadi, protoze jiny mi s tou substituci vychazi. Spise by me zajimalo, jak tenhle postup obhajim pri zkouseni (maturite). Porad mam pocit, ze kdyz se nevracim k substituci, tak tim menim tu rovnici.
Diky za odpovedi.

jelena · 17. 05. 2010 09:11

↑ zloutenka:

Zdravím,

řekla bych, že úplně nejlepe to popisuje kolega ↑ halogan: a situace vypada takto.

Představa, že hledáme dotykové body obou tečen jako průník zadané kružnice a Thaletové kružnice sestrojene nad úsečkou MS, potvrzuje, že takových tečen má být dvě.

Jelikož samotné řešení soustavy rovnic dvou kružnic je příliš zdlouhavé a nepohodlné, pomůžeme si podmínkou o nulovém D, jak ↑ mám tady:.

$(z-3)^2 + (kz-9)^2 = 9$

$z^2-6z+9 + k^2z^2-18ky+81 = 9$

$z^2(1+k^2)+z(-6-18k)+81=0$

$D=(-6-18k)^2-4\cdot 81(1+k^2)=36(1+3k)^2-4\cdot 81(1+k^2)=0$

$(1+3k)^2-9(1+k^2)=0$

Máš to také tak?

Z tohoto řešení ovšem plyne jen jedno k, proto ten závěr (druhá tečná x=2) bude jednodušší při představě vzájemné polohy bodu M a zadané kružnice.

Dá se vymyšlet i další způsob pro dopočet druhého bodu dotyku (symetrie, stejná vzdálenost atd.), ale tu myšlenku ohledně průniku Thaletovy kružnice a zadané - to mi chybělo celý půlrok, co se takové úlohy tady začaly objevovat. Proto kolegovi velmi děkuji.

Může být?

jelena · 17. 05. 2010 09:43

V tomto konkrétním zadání nakonec jako nejrychlejší cesta bude: určit si souřadnice bodu dotyku T_1, který má stejné x jako bod M, sestavit si rovnici přímky procházející T_1 a kolmé na MS a najit průník T_2 této přímky se zadanou kužnici. Na závěr sestavit rovnici přímky T_2M.

Půjdu tedy umyt chodbu.

zdenek1 · 17. 05. 2010 14:19

↑ jelena:
Tak já bych to dělal ještě jinak (teda když bych zavrhl metodu "udělat náčrtek a zamyslet se")
tečnu budu hledat ve formě $t:ax+by+c=0$
vzdálenost středu od tečny je $r$ , tj. $\frac{|5a+10b+c|}{\sqrt{a^2+b^2}}=3$ . (1)
$M\in t\ \Rightarrow\ 2a+b+c=0$ (2)
Protože mám tři parametry, potřebuju třetí rovnici, ale normálový vektor je určený až na konstantu, takže zvolím jeho velikost 1 a mám
$\sqrt{a^2+b^2}=1$ (3)
Když z (2) vyjádřím $c$ a dosadím do (1) a započítám i (3), dostanu
$|a+3b|=1\ \Rightarrow\ a^2+6ab+9b^2=1=a^2+b^2\ \Rightarrow\ 2b(3a+4b)=0$
a) $b=0$ , $a=1$ $c=-2$ , $t_1:x-2=0$
b) $a=-\frac43b$ a dosazením do (3) $a=-\frac45$ , $b=\frac35$ , $c=1$ , $t_2:4x-3y-5=0$

zloutenka · 17. 05. 2010 17:46

Diky za odpovedi.
Nechme ale prosim tento konkretni priklad, slo mi o postup. Spise by me zajimalo, jak tenhle postup obhajim pri zkouseni (maturite). Porad mam pocit, ze kdyz se nevracim k substituci, tak tim menim resenou rovnici.

jelena · 17. 05. 2010 22:21

↑ zloutenka:

Řekla bych, že kolega ↑ zdenek1: také řeší tento konkrétní příklad.

Je třeba se na to dívat takto:

- kolega ↑ halogan: vnesl do problému jasno ve smyslu CO a PROČ hledáme.

Pak se řešílo JAK hledáme.

Jedno z těch možných JAK je sestavení kvadratické rovnice, která odráží situaci, že tečná a kružníce může mít pouze jeden společný bod. Máme kvadratickou rovnici s parametrem k, hledáme parametr k, který zabezpečí D=0.

Při úpravě používám substituci, která vyjadřuje posun grafu kvadratické funkce po ose x. Takový posun nemůže ovlivnit počet bodu na ose x (my potřebujeme, aby tento bod byl pouze jeden). jelikož hledáme pouze hodnotu parametru k, tak není důvod vrátit se k substituci.

Pokud nalezené k dosadíš do původní rovnice, tak je jen jeden kořen. Tento obrázek ale je určitý kompromis, jelikož nejsem zastance dosazovacích zkoušek. Musím věřit postupu, ne dosazování (může to být náhoda, že vyšlo).

Zde v tématu máš další nabídků možných JAK od kolegů ↑ Cheop:, ↑ zdenek1:, kolegům velmi děkuji (i moje "před umýváním chodby", které platí pro tento konkrétní příklad). Myslím, že takovou nabídku JAK žádná maturitní komise ještě neviděla.

Už v pořádku?

↑ zdenek1: jisem zcela unešena, děkuji :-) a ještě jsem zcela unešena z "jasna" od milého kolegy Ondřeje.

halogan · 17. 05. 2010 22:31

↑ zloutenka:

Já bych to řekl asi takto:

Máš 15 minut, abys spočítala dvě úlohy. Tam není čas na nějaké šílené postupy (jako ten můj) a pokud tě zrovna nenapadne univerzální řešení od kolegy ↑ zdenek1:, tak doporučuji počítat podle vzoru ↑ jelena:. Vypadne jedno k a nyní je čas na diskusi se zkoušejícím.

Zakreslíš situaci a řekneš, že tečna z vnějšího bodu nemůže vyjít jen jedna, takže hledáš odůvodnění toho, že ti vyšla jen jedna:

1) Máš to špatně a někde jsi neekvivalentně odmocnila (častá chyba).

2) Ta druhá tečna se tímto způsobem vůbec nedá spočítat (náš případ).

Než tedy přejdeš ke kontrole svých výpočtů, tak (byť je to analytická úloha) přistup k náčrtku, popiš, že druhá tečna musí být kolmá (protože nemá směrnici) a navrhni postup řešení. Máš opět několik možností:

1) Mým zdlouhavým způsobem, který je však velice rychlý, když máš za úkol najít grafické řešení, tehdy se hodí (ani moc jiných postupů neznám).

2) Využiješ souměrnosti těch dvou tečen. Musí být osově souměrné podle úsečky MS. Jak se z tou souměrností vypořádáš, to už je na tobě, opět je více možností (některé tu byly zmíněny).

3) Využiješ úplně nového výpočtu pomocí obecné rovnice přímky, které nevadí, že je tečna kolmá. To je postup od ↑ zdenek1:.

---

Vypadá to zbytečně složitě, ale pokud přesvědčíš komisi, že látce rozumíš, tak jim je jedno (resp. není to tak závažné), pokud ti to nevyjde přesně. To přece není to hlavní. Nejsme stroje.

---

(Tu moji soustavu opravdu nedoporučuji. Já též něco podobného [byť třemi proměnnými] řešil u maturity u tabule a nedopadlo to nejlépe.)

zloutenka · 18. 05. 2010 08:31

Dekuji moc za odpovedi.

Matematické Fórum

#1 16. 05. 2010 20:31 — Editoval zloutenka (16. 05. 2010 20:39)

Tečna kružnice z vnějšího bodu

#2 16. 05. 2010 20:38

Re: Tečna kružnice z vnějšího bodu

#3 16. 05. 2010 20:39

Re: Tečna kružnice z vnějšího bodu

#4 16. 05. 2010 23:14

Re: Tečna kružnice z vnějšího bodu

#5 16. 05. 2010 23:37

Re: Tečna kružnice z vnějšího bodu

#6 17. 05. 2010 00:03 — Editoval jelena (17. 05. 2010 00:06)

Re: Tečna kružnice z vnějšího bodu

#7 17. 05. 2010 07:55 — Editoval Cheop (17. 05. 2010 10:44)

Re: Tečna kružnice z vnějšího bodu

#8 17. 05. 2010 08:13

Re: Tečna kružnice z vnějšího bodu

#9 17. 05. 2010 08:49

Re: Tečna kružnice z vnějšího bodu

#10 17. 05. 2010 09:11

Re: Tečna kružnice z vnějšího bodu

#11 17. 05. 2010 09:43

Re: Tečna kružnice z vnějšího bodu

#12 17. 05. 2010 14:19

Re: Tečna kružnice z vnějšího bodu

#13 17. 05. 2010 17:46

Re: Tečna kružnice z vnějšího bodu

#14 17. 05. 2010 22:21

Re: Tečna kružnice z vnějšího bodu

#15 17. 05. 2010 22:31

Re: Tečna kružnice z vnějšího bodu

#16 18. 05. 2010 08:31

Re: Tečna kružnice z vnějšího bodu

Zápatí