Matematické Fórum

simha · 20. 05. 2010 11:10

Vlak jedoucí rychlostí 90 km/hod. začal brzdit a zastavil ve vzdálenosti 1 km. Určete rovnici dráhy pohybu vlaku při brždění , víte-li, že je kvadratickou funkcí času a vypočtěte za jak dlouho se zastavil.

Honzc · 20. 05. 2010 11:23

Jedná se tedy o rovnoměrně zrychlený (zpomalený) pohyb. t=80 s.

Cheop · 20. 05. 2010 11:41 — Editoval Cheop (20. 05. 2010 13:16)

↑ simha:
Řešíš rovnice:
1) $s=v_{\tiny 0}t-\frac{at^2}{2}$
2) $v=v_{\tiny 0}-at$
Znáš:
$s=1000\nlv=0\nlv_{\tiny 0}=25$
$1000=25t-\frac{at^2}{2}$
$0=25-at\nlat=25$
$1000=25t-\frac{25t}{2}\nlt=80$
$a=\frac{25}{t}\nla=\frac{5}{16}$
Rovnice:
$s=25t-\frac{5t^2}{32}$

Vlak zabrzdí za 80 vteřin

Doufám, že to takto stačí.

Rumburak

Z předpokladu, že dráha je kvadratickou funkcí času, vyplývá, že jde o pohyb rovnoměrně zpožděný.
Měříme-li čas i ujetou dráhu od okamžíku t=0, kdy vlak začal brzdit, můžeme rovnici dráhy vyjátřit ve tvaru

(1) $s(t) \,=\, \frac{1}{2}at^2 \,+\, v(0)t$ .

Tedy v(0) je počáteční rychlost vlaku, a < 0 neznámý parametr vyjadřující rovnoměrné zpoždění pohybu (tj. zrychlení se záporným znaménkem).
Rovnice pro rychlost pak bude

(2) $v(t) \,=\, at \, + \, v(0)$ ,

získáme ji buďto fyzikální úvahou nebo zderivováním rovnice (1).

Označme T neznámý okamžik, kdy se vlak zastaví, a dosaďme ho do rovnice (2). K něčemu nám to pomůže...

simha · 20. 05. 2010 11:50

achjo, no mco moudřejší nejsem :-( ale zkusím to :-) ještě bych poprosila o jeden příklad : Průmyslový závod Z je vzdálen 5 km od silnice vedoucí do města M, přitom vzdálenost Z od M je 13 km. Určete, pod jakým úhlem je třeba vybudovat spojku k silnici, aby doprava materiálu ze Z do M byla co nejlevnější, jestliže předpokládané náklady na přepravu 1 tuny materiálu na 1 km jsou na původní silnici třikrát nižší než na nově vybudované spojce.

jelena · 20. 05. 2010 12:22

↑ simha:

Zdravím,

problém je v tom, že neformuluješ, co potřebuješ - potřebuješ "využití diferenciálního počtu při řešení slovních úloh".

Také se domnívám, že návrhy od kolegů není úplně to, co potřebuješ. Má být sestavena rovnice $s=At^2+Bt+C$ , ať se to neplete s již znamou rovnici na zrychlený pohyb, jak je uvedeno u kolegů. Pak je práce kolegů trochu marná. Kolegům velmi děkuji a zdravím.

Také se hodí tento materiál viz odkaz - pro další úlohy.

-------------
Mám velkou OT prosbu pro kolegu Rumburaka - je možné se podívat na tento problém? Poslala jsem kolegu ze sekce fyziky (s návrhem, že se má zabývat tečnou rovinou) do sekce matematiky, ale asi to zapadlo nebo není atraktivní název tématu. Děkuji převelice.

simha · 20. 05. 2010 12:35

tak to se omlouvám, já totiž asi sama nevím co potřebuju, v tom bude největší problém :-D Nemáme dané čeho máme využít, ale diferenciální počet mi bude asi blíž tady ty rovnice na zpomalení :-)

Rumburak · 20. 05. 2010 12:40

↑ jelena:
Mé znalosti z fyziky jsou sice jen velmi kusé, ale cosi jsem kolegovi poradil, doufám, že ne úplně špatně.
Zdravím a děkuji za důvěru :-) .

zdenek1

↑ simha:
ten druhý př.

$a=\frac5{\sin\alpha}$
$b=\frac5{\tan\alpha}$
náklady $y=3a+(12-b)=\frac{15}{\sin\alpha}+12-\frac5{\tan\alpha}$
hledáš minimum - derivace $\frac{dy}{d\alpha}=\frac5{\sin^2\alpha}-\frac{15\cos\alpha}{\sin^2\alpha}=0$
$\cos\alpha=\frac13$

Musíš ověřit, že je tam minimum (v intervalu $(0;\frac\pi2)$ )

jelena · 23. 05. 2010 11:39

↑ Rumburak: děkuji :-)

↑ zdenek1: děkuji :-)

měla bych být více adresná - v odkazovaném materiálu je to "problém stavitele silnic" (na fóru myslím je "problém tanku v písku" a určitě i něco dalšího, obvykle je řešeno pře Pythagorovu větu nebo přes vzdálenost bodů. Kolega Zdeněk ovšem řeší více účelově - rovnou přes úhel, děkuji.

↑ simha: lze považovat za vyřešené? Děkuji.

simha · 23. 05. 2010 18:04

a ten první příklad by nešel řešit nějak jinak?

simha · 23. 05. 2010 18:10

a u toho druhého příkladu jsem moc nepochopila tu derivaci. proč je tam sin^2x?

jelena · 23. 05. 2010 18:18

1) dá se řešit "jinak" opiš si počáteční a konečné údaje ze zadání: rychlost, poloha, čas a navrhní zápis rovnice $s=At^2+Bt+C$ , postupným dosazovaním, derivováním a dalším dosazováním zjistiš A, B, C.

2] to je derivace složene funkce $15\cdot\sin^{-1}x$ (jen označení úhlu má být x, když je v zápisu dy/dx).

simha · 23. 05. 2010 19:35

děkuju, ještě jednu prosbu mám :-) nedávno sem tu viděla šikovný odkaz na obrázek s hloubkovým, výškovým a nevím ještě jakým úhlem.. teď ho ale nemůžu najít. Nevíš náhodou? :)

gadgetka · 23. 05. 2010 19:39

http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=3689

zdenek1 · 23. 05. 2010 20:15

jelena napsal(a):
2] to je derivace složene funkce $15\cdot\sin^{-1}x$ (jen označení úhlu má být x, když je v zápisu dy/dx).

opraveno

Matematické Fórum

#1 20. 05. 2010 11:10

úlohy fyzikálního typu

#2 20. 05. 2010 11:23

Re: úlohy fyzikálního typu

#3 20. 05. 2010 11:41 — Editoval Cheop (20. 05. 2010 13:16)

Re: úlohy fyzikálního typu

#4 20. 05. 2010 11:42 — Editoval Rumburak (20. 05. 2010 12:11)

Re: úlohy fyzikálního typu

#5 20. 05. 2010 11:50

Re: úlohy fyzikálního typu

#6 20. 05. 2010 12:22

Re: úlohy fyzikálního typu

#7 20. 05. 2010 12:35

Re: úlohy fyzikálního typu

#8 20. 05. 2010 12:40

Re: úlohy fyzikálního typu

#9 20. 05. 2010 13:31 — Editoval zdenek1 (23. 05. 2010 20:14)

Re: úlohy fyzikálního typu

#10 23. 05. 2010 11:39

Re: úlohy fyzikálního typu

#11 23. 05. 2010 18:04

Re: úlohy fyzikálního typu

#12 23. 05. 2010 18:10

Re: úlohy fyzikálního typu

#13 23. 05. 2010 18:18

Re: úlohy fyzikálního typu

#14 23. 05. 2010 19:35

Re: úlohy fyzikálního typu

#15 23. 05. 2010 19:39

Re: úlohy fyzikálního typu

#16 23. 05. 2010 20:15

Re: úlohy fyzikálního typu

jelena napsal(a):

Zápatí