Matematické Fórum

Skrytý text:

Nejprve formulujeme tvrzení T1 (pohybujeme se v přirozených číslech):
Uvažujme pro pevné m množiny M(t) čísel t+1 až t+m kolik násobků pevného čísla p obsahuje mna M(t) (tento počet násobků označme nas(t)).
Mějte M(t1) a M(t2). Pokud je t1 násobek p, pak nas(t1) <= nas(t2). Tvrzení T2: Pokud navíc t1+m není násobek p a t2+1 nebo t2+m je násobek p, pak nas(t1) <= 1 + nas(t2) (dokonce nasatne rovnost).
Důkaz ponechávám jako cvičení. :-)

Nyní přejdeme k vlastnímu problému:
Označme ,, , ,
(zaměnil jsem sumu za součin a opravil definici , která dříve zněla )
kde jsou prvočísla
potom gcd(n,m)/n=1/h a zkoumáme výraz .
Prvočísla, která se nevyskytují v h se "zkrátí" ze jmenovatele ( je celé číslo). Zabývejme se tedy jen těmi prvočísly , které se vyskytují v h (v alespoň první mocnině - pro ně ovšem již předchozí vztah platí a tedy celou níže uvedenou úvahu není nutno měnit) a ukážeme, že se také "zkrátí" a zmizí ze jmenovatele celého výrazu.
Po roznásobení výrazu dostaneme: X=n(n-1)...(n-m+1)/(m!).
Hledejme mocniny a,b které má prvočíslo ve jmenovateli a čitateli výrazu X (mocnina je tedy tvaru a ). (pro nějaké konečné K). Každý j-tý člen sumy vyjadřuje příspěvek -tých mocnin do výsledného exponentu.
Libovolný násobek se v čitateli X vyskytuje nejméně tak často jako ve jmenovateli (to říká tvrzení T1 použité na a T(0) a T(n-m)). Avšak pro , které se nachází v h, kde j je mezi a jsou splněny předpoklady T2 a těchto j je přesně . Tedy b >= a + . Tedy mocnina v čítateli a jmenovateli X má tvar a , kde d je nezáporné celé. Mocnina v h je , tedy po "vykrácení" zůstane pouze v čitateli mocnina .

Tento postup lze použít na všechna prvočísla, ze kterých se skládá h, čímž získáme celé číslo.

Skrytý text:
Záměna sumy za součin byla vysoce trapná, díky za upozornění. :-)
Pokusím se výše uvedený postup modifikovat - místo má být samozřejmě . Další posup je stejný - uvažovat jen takové mocniny , pro které je . Revize se pokusím červeně odlišit.