Matematické Fórum

ajucha · 13. 06. 2010 15:33

Mám dokázat, zda y=x^2 + bx + c tvori vektorovy prostor.
Zjistila jsem, ze podmínky pro násobení: alfa(a+b)=alfaa.alfab, (alfa + beta)a=alfaa + betaa, (alfabeta)a=alfa(betaa),1.a=a - platí
poté pro scítaní plati acosiativita i komutativita, ale nejsem si jista nulovym a inverznim prvkem, pohol by jste mi nekdo prosim?:)
dekuju

Olin · 13. 06. 2010 15:38

Zadání je poněkud neúplné. Vektorový prostor je zadán nějakou množinou V (množinou vektorů), tělesem T (nad kterým prostor "žije"), operací sčítání vektorů a operací násobení vektoru prvkem tělesa.

Chápu správně, že ověřujeme, jestli polynomy nejvýše 2. stupně nad reálnými čísly s běžným sčítáním a násobením tvoří vektorový prostor?

ajucha · 13. 06. 2010 16:04

↑ Olin:
ano,presne tak

Olin · 13. 06. 2010 16:26

Ještě upřesnění: nemá to, že v předpisu $y = x^2 + bx + c$ chybí koeficient u kvadratického členu, znamenat, že v prostoru mají být pouze polynomy, které u tohoto členu mají koeficient 1? Pokud by to tak bylo, tak by to nebyl vektorový prostor.

Pokud je to tak, jak jsem to pochopil prve, tak nulovým prvkem je prostě polynom $y = 0\, (= 0x^2 + 0x + 0)$ a inverzním k $y = ax^2 + bx + c$ je $y = -ax^2 - bx - c$ .

ajucha · 13. 06. 2010 16:36

↑ Olin:
jeste jsem zpomnela dodat, ze bc, jsou libovolné. a vektorovy prostor to nema byt. nemohl by jsi mi ukazat jeste jak jsi delal komutativitu a asociativitu, jestli jsme to delala spravne?

Olin · 13. 06. 2010 17:56

No, pokud u toho kvadratického členu musí být jednička, tak to zřejmě vektorový prostor není, protože $x^2$ v tom prostoru je, ale $x^2 + x^2 = 2x^2$ už ne.

ajucha · 13. 06. 2010 18:29

↑ Olin:
a mohl bys mi ukazat jeste tu asociativitu a komutativitu? prosim:)

Olin · 13. 06. 2010 18:59

Asi opět úplně nechápu. Pokud chceme ukázat, že se nejedná o vektorový prostor, stačí ukázat, že alespoň jedno z pravidel (axiomů) není dodrženo, což jsem provedl výše.

Co se týče asociativity a komutativity sčítání polynomů, tak to mi přijde zřejmé, ale přece jen:
$(a_1x^2 + b_1x + c_1) + (a_2x^2 + b_2x + c_2) = (a_1+a_2)x^2 + (b_1 + b_2)x + (c_1 + c_2) = (a_2x^2 + b_2x + c_2) + (a_1x^2 + b_1x + c_1)$
$(a_1x^2 + b_1x + c_1) + \[(a_2x^2 + b_2x + c_2) + (a_3x^2 + b_3x + c_3)\] = \nl \[(a_1x^2 + b_1x + c_1) + (a_2x^2 + b_2x + c_2)\] + (a_3x^2 + b_3x + c_3)$
Uvedené rovnosti platí pro každé $x \in \mathbb{R}$ (z vlastností reálných čísel), takže platí i pro polynomy.

kaja(z_hajovny) · 14. 06. 2010 08:50

↑ ajucha:
Pokud vime ze vsechny polynomy prostor tvori, vime, ze tam komutativita i asociativita plati. Na kazde podmnozine ta komutativita i asociativita zustanou zachovany (dedi se).

Matematické Fórum

#1 13. 06. 2010 15:33

vektorovy prostor

#2 13. 06. 2010 15:38

Re: vektorovy prostor

#3 13. 06. 2010 16:04

Re: vektorovy prostor

#4 13. 06. 2010 16:26

Re: vektorovy prostor

#5 13. 06. 2010 16:36

Re: vektorovy prostor

#6 13. 06. 2010 17:56

Re: vektorovy prostor

#7 13. 06. 2010 18:29

Re: vektorovy prostor

#8 13. 06. 2010 18:59

Re: vektorovy prostor

#9 14. 06. 2010 08:50

Re: vektorovy prostor

Zápatí