Matematické Fórum

DeZie · 13. 06. 2010 23:32

Dobrý večer,
narazila jsem na pár úloh z planimetrie, u kterých vůbec netuším, jak by se měly řešit.

1) Vypočítejte obsah rovnoramenného lichoběžníku, jehož základny mají délky a = 22 cm, b = 12 cm, je-li jeho výška o 1 cm menší než délka ramena.
Tady jsem si nakreslila obrázek, lichoběžník rozdělila na čtverec a dva trojúhelníky. Díky tomu znám jednu ze stran trojúhelníku, ale jak dál?

2) Vypočítejte délku tětivy v kružnici o poloměru r=10 cm, víte-li, že tětiva dělí průměr k ní kolmý v poměru 2:3.
I zde jsem si nakreslila obrázek, ale opravdu netuším, jak to z něj vypočítat.

3) Určete obsah S pravoúhlého lichoběžníku ABCD, úhel alfa=90 stupňů, AB je rovnoběžné s CD, AB = a, CD = c, jestliže jeho kosé rameno je o m delší než rameno kolmé k základně:
a)obecně
b) a = 66 cm, c = 18 cm, m = 36 cm.

Předem díky za jakýkoliv nápad

Stýv · 13. 06. 2010 23:43

1) použij pythagorovu větu
2) použij pythagorovu větu
3) použij pythagorovu větu

gadgetka

1) "Znáš" všechny strany trojúhelníku, jedna odvěsna má délku 5 (cm), druhá x-1 (cm) a přepona má délku x (cm). Použij Pythagorovu větu $x^2=5^2+(x-1)^2$

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

gadgetka · 14. 06. 2010 00:09

2)
Pro úseky průměru v kružnici platí: (t>0)
$2t+3t=20\nl5t=20\nlt=4$

Jednotlivé úseky tedy měří $4\cdot 2=8\rm{cm}$ a $3\cdot 4=12 \rm{cm}$

Tzn., že tětiva je ve vzdálenosti 2 cm od středu. Když si to namaluješ, dostaneš rovnoramenný trojúhelník (ramena jsou poloměry kružnice, základnou je tětiva). Výška (vzdálenost tětivy od středu) dělí trojúhelník na dva pravoúhlé.
Použiješ Pythagorovu větu: (x je polovinou tětivy)
$x^2+v^2=r^2\nlx=\sqrt{r^2-v^2}\nlx=\sqrt{100-4}=\sqrt{96}=4\sqrt6$

Délka celé tětivy je $2x=8\sqrt6$

b.r.o.z1

3)
a) obecný vzorec:
$S=\frac{(a+c)*m}2$

b) jen dosadíš
$S=\frac{(66+18)*36}2$
a vyjde ti:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

DeZie · 14. 06. 2010 07:23

↑ gadgetka:
Díky za pomoc
↑ b.r.o.z1:
Tak mi to taky vyšlo, ale má vyjít 588 cm2

b.r.o.z1 · 14. 06. 2010 07:25

↑ DeZie:

to je divný, ale imho tohle je správně

Kondr · 14. 06. 2010 08:11

↑ b.r.o.z1: No v tom vzorečku je v, ne m. Nejdřív se musí spočítat výška, opět z Pythagorovy věty.

gadgetka · 14. 06. 2010 08:46

Vyjde 588 cm^2 ...

$(v+36)^2=v^2+(66-18)^2\nlv^2+72v+1296=v^2+2304\nl72v=1008\nlv=14 \rm{cm}$

$S=\frac{66+18}{2}\cdot 14=588 \rm{cm^2}$

gadgetka · 14. 06. 2010 08:58

3a)
obecný vzorec bude též jiný
$v^2=(v+m)^2-(a-c)^2\nlv^2=v^2+2mv+m^2-a^2+2ac-c^2\nl2mv=a^2-2ac+c^2-m^2\nlv=\frac{a^2-2ac+c^2-m^2}{2m}$

$S=\frac{a+c}{2}\cdot \frac{a^2-2ac+c^2-m^2}{2m}$

Zkus ten součin ještě upravit do nějakého hezčího tvaru...

Cheop · 14. 06. 2010 09:03 — Editoval Cheop (14. 06. 2010 09:03)

↑ DeZie:
3)
Obecně:
Musí platit:
$(a-c)^2+v^2=(v+m)^2\nl(a-c)^2+v^2=v^2+2mv+m^2\nlv=\frac{(a-c)^2-m^2}{2m$
Obsah lichoběžníka:
$S=\frac{(a+c)v}{2}\nlS=\frac{(a+c)\left[(a-c)^2-m^2\right]}{4m}\nlS=\frac{(a-c+m)(a-c-m)(a+c)}{4m}$

Po dosaszení za a, c, m vyjde obsah 588 cm^2

Cheop · 14. 06. 2010 09:25

↑ gadgetka:
Zdravím:)
Hezčí tvar půjde těžko

Honzc · 14. 06. 2010 09:28

↑ Cheop:
Proč se ti tenhle tvar
$S=\frac{(a-c+m)(a-c-m)(a+c)}{4m}$
líbí víc než tenhle
$S=\frac{(a+c)\left[(a-c)^2-m^2\right]}{4m}$

Cheop · 14. 06. 2010 09:33 — Editoval Cheop (14. 06. 2010 09:36)

↑ Honzc:
Zdarec
Nelíbí, já jsem jenom navrhl i jinou úpravu.
PS:
V sobotu na fotbale si mě 2 lidi spletli s tebou.

Matematické Fórum

#1 13. 06. 2010 23:32

Planimetrie - početní úlohy

#2 13. 06. 2010 23:43

Re: Planimetrie - početní úlohy

#3 13. 06. 2010 23:51 — Editoval gadgetka (13. 06. 2010 23:55)

Re: Planimetrie - početní úlohy

#4 14. 06. 2010 00:09

Re: Planimetrie - početní úlohy

#5 14. 06. 2010 06:25 — Editoval b.r.o.z1 (14. 06. 2010 06:27)

Re: Planimetrie - početní úlohy

#6 14. 06. 2010 07:23

Re: Planimetrie - početní úlohy

#7 14. 06. 2010 07:25

Re: Planimetrie - početní úlohy

#8 14. 06. 2010 08:11

Re: Planimetrie - početní úlohy

#9 14. 06. 2010 08:46

Re: Planimetrie - početní úlohy

#10 14. 06. 2010 08:58

Re: Planimetrie - početní úlohy

#11 14. 06. 2010 09:03 — Editoval Cheop (14. 06. 2010 09:03)

Re: Planimetrie - početní úlohy

#12 14. 06. 2010 09:25

Re: Planimetrie - početní úlohy

#13 14. 06. 2010 09:28

Re: Planimetrie - početní úlohy

#14 14. 06. 2010 09:33 — Editoval Cheop (14. 06. 2010 09:36)

Re: Planimetrie - početní úlohy

Zápatí