Matematické Fórum

ondrej.hav · 14. 06. 2010 23:08

Prosím o pomoc ještě s jednou řadou... $\sum{\frac{x^n}{n}}$ spočítal jsem si nutnou podmínku a vyšlo mi $x \in <-1;1>$ (BTW musim vzdycky tu NPK pocitat?) No ale nevim co dál... když použiju odmocninové kriterium dostanu limitu z x.. a to mi asi moc nepomuze... tak jsem zkusil podilove a vyslo mi $\lim{\frac{xn}{n+1}}$ Nu a nevim co dál... Napadlo mě jetli se to teda nedělá tak, že vemu ten interval z nutný podmínky a nějak ho zkouším aplikovat na to co mi vyslo v tom kriteriu.. ale nevim moc.. spis mozna neznam obecně ten postup... kdyz by ste byl nekdo tak hodny:-)

Olin · 14. 06. 2010 23:31 — Editoval Olin (14. 06. 2010 23:33)

A co říkají ta kritéria? Třeba to limitní odmocninové:

Nechť je $\sum_{n=1}^{\infty} a_n$ řada. Pokud je $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \, < \, 1$ , tak řada absolutně konverguje. Pokud je $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} \, > \, 1$ , tak řada diverguje.

Aplikací na $a_n = \frac{x^n}{n}$ dostaneme, že řada absolutně konverguje, pokud je $|x|<1$ , a diverguje pro $|x|>1$ . Případy, kdy $|x| = 1$ se musí vyšetřit zvlášť.

ondrej.hav

↑ ondrej.hav:No jo, ale já pořád nevím proč tam můžu použít to s tou odmocninou? Tu absolutní konvergenci... BTW jak ty případy ověřím??? Ty v 1 a -1???

Je to tak, že tam dosadím ty krajní body a zkoumám jestli ta řada potom konverguje/diverguje?

Oxyd · 15. 06. 2010 01:09 — Editoval Oxyd (15. 06. 2010 01:12)

Použít to můžeš, protože taková je formulace odmocninového kriteria.

Důkaz toho kriteria ani není tak složitý. Nechť tedy $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left|a_n\right|} = q < 1$ . Vezměme r takové, že $q < r < 1$ . Protože členy $\sqrt[n]{\left|a_n\right|}$ jdou ke q, které je pod jedničkou, tak existuje nějaké $n_0$ , že $n > n_0 \Rightarrow \sqrt[n]{\left|a_n\right|} < r$ . (Jinak by všechny členy byly nad r a nemohly by se libovolně přiblížit ke q.)

Umocněním na n dostáváme $n > n_0 \Rightarrow \left|a_n\right| < r^n$ . To znamená, že nekonečně mnoho členů řady $\sum_{n \ge 1} \left|a_n\right|$ , n_0 počínaje, je menších než členy řady $\sum_{n \ge 1} r^n$ -- to je geometrická řada a o odstavec výš jsem řekl, že vezmeme $r < 1$ , tedy tahle geom. řada konverguje. Ze srovnávacího kriteria pak máme, že i $\sum_{n \ge 1} \left|a_n\right|$ konverguje.

Praktická aplikace na tvuj příklad: $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left|\frac{x^n}{n}\right|} = \lim_{n \to \infty} \frac{\left|x\right|}{\sqrt[n]{n}}$ . Víme, že $\lim \sqrt[n]{n} = 1$ , tedy $\lim_{n \to \infty} \frac{\left|x\right|}{\sqrt[n]{n}} = \lim \left|x\right| = \left|x\right|$ . Takže pokud je -1 < x < 1, pak z odmocninového kriteria řada konverguje.

No a ty zbývající dva případy, x = +1 a x = -1, vyřešíš prostě tak, že to tam dosadíš. Pro x = 1 dostaneš $\sum_{n \ge 1} \frac{1^n}{n} = \sum_{n \ge 1} \frac{1}{n}$ . Tuhle řadu bys mohl znát.

A ještě k předchozí otázce -- nutnou podmínku konvergence nemusíš vyšetřovat vždy. Máš vyšetřit konvergenci řady -- libovolným způsobem. NPK je jednoduchý nástroj, jak odbýt "očividně divergentní" řadu. Pokud zjistíš, že řada konverguje, tak už nutně NPK platí a vyšetřovat ji nemusíš.

Rumburak

↑ ondrej.hav:
Když se na nějaké úloze zadrhnu, pak mi do budoucna pomůže, pokud si uvědomím, proč se tak stalo.
Tvůj případ zde byl ten, že sis nevěděl rady s limitami

(1) $A\,:=\,\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}\,=\,\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\|\frac{x^n}{n}\|}$ (Cauchyho kriterium),

(2) $B\,:=\,\lim_{n \to \infty}\,\frac{|a_{n+1}|}{|a_{n}|}\, =\,\lim_{n \to \infty} \,\,\frac {\frac{|x|^{n+1}}{n+1}}{\frac{|x|^{n}}{n}} \,=\, \lim_{n \to \infty}\,\frac{|x|n}{n+1}$ (d'Alembertovo kriterium).

Řešení úlohy pomocí limity (1) Ti vysvětlili kolegové.
Avšak výpočet limity (2) rovněž vede k cíli:

$B\,=\, \lim_{n \to \infty}\,\frac{|x|n}{n+1}\,=\,|x|\,\lim_{n \to \infty}\,\frac{n}{n+1}\,=\,|x|$ a dále jako u kolegů.

ondrej.hav

↑ Rumburak:Jo, už to relativně chápu. Co když mám ale třeba ještě $\sum (-1)^n n^x$ Tam by se mělo podle řešení použít integrální kritérium a leibnitzovo... a přesne je tam napsano $K=(-\infty;0)$ (integrální kritérium pro $(-\infty; -1)$ , Leibnizovo kritérium pro $<-1;0)$ . Tak u toho si vubec nevm rady... To muzu pouzivat na nejaky interval jedno kriterium a na druhy interval jine kriterium?

EDIT: Nebo jinak... Kdyz dostanu takovyhle (jakykoli) priklad.. JAk postupuju??? To se na to podivam a mel bych poznat automaticky an jakych intervalech to mam resit a jakyma kriteriama?

Marian · 15. 06. 2010 14:19

Oxyd napsal(a):
Použít to můžeš, protože taková je formulace odmocninového kriteria.
...

Umocněním na n dostáváme $n > n_0 \Rightarrow \left|a_n\right| < r^n$ . To znamená, že nekonečně mnoho členů řady $\sum_{n \ge 1} \left|a_n\right|$ , n_0 počínaje, je menších než členy řady $\sum_{n \ge 1} r^n$ -- to je geometrická řada a o odstavec výš jsem řekl, že vezmeme $r < 1$ , tedy tahle geom. řada konverguje. Ze srovnávacího kriteria pak máme, že i $\sum_{n \ge 1} \left|a_n\right|$ konverguje.

...

Tahle formulace není přesná. Nekonečno ještě vůbec neznamená všechny. Formálně a velmi zjednodušeně, pokud z nekonečné bodové množiny odeberu nekonečně mnoho prvků této množiny, nemusím ještě dostat konečnou bodouvou množinu. Asi jsi chtěl napsat všechny členy od jistého $n_0$ počínaje.

Upozorňuji také na výhodný Rumburakův postup. Na druhou stranu je odmocninové kritérium silnější než podílové. Konečně bych však chtěl upozornit i na obecnější tvary těchto kritérií obsahující pojem limes superior.

ondrej.hav · 15. 06. 2010 14:30

↑ Marian:A co přsně znamená, že je nějaké kritérium silnější?

Olin · 15. 06. 2010 14:43

↑ ondrej.hav:
Na vyšetření "běžné" (neabsolutní) konvergence u řady $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n n^x$ stačí Leibnizovo kritérium a nutná podmínka konvergence (pro záporná x konverguje, jinak diverguje). Pokud chceme vyšetřit i absolutní konvergenci, je třeba nasadit jiné nástroje, třeba integrální kritérium.

Některá kritéria vyšetřují pouze absolutní konvergenci (neboli řady s nezápornými členy) - to jsou třeba Cauchyho odmocninové, d'Alembertovo podílové, srovnávací, integrální atd. Pro neabsolutní konvergenci jsou pak Leibnizovo, Abelovo, Dirichletovo… Rozhodnout, jaká kritéria použít, je záležitostí asi hlavně zkušeností, ale existují na to i přibližné "návody" - třeba tento.

To, že je nějaké kritérium A silnější než kritérium B, znamená, že kritérium A dokáže rozhodnout o konvergenci/divergenci všech řad, o kterých lze rozhodnout i pomocí B, ale existují i řady, které A rozhodne a B nikoliv. Toto není zcela formální definice, ale pojem "silnější kritérium" je taky spíše neformální.

ondrej.hav · 15. 06. 2010 14:56

↑ Olin:Ahaaaa... takze kdyz nektera kriteria vysetruji pouze absolutni konvergenci tak tam muzu dat tu absolutní hodnotu žejo? Protozě stejně vyšetřuju jenom ty kladné členy? A díky za objasnění pojmu "silnější"

halogan · 15. 06. 2010 14:59

↑ Olin:

Pro absolutní konvergenci dostaneme

$\sum_{n = 1}^{\infty} n^x = \sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n^{-x}}$

U čehož je konvergence jasná ze známé věty.

ondrej.hav · 15. 06. 2010 15:42

↑ Olin:btw. jak spočtu tu řadu pomocí toho kritéria leibnitzova? To si řeknu, že ta řada je klesající pro záporná x? a pak udělám limitu zjiatim ze je nula... takze muzu rovnou rict ze to konverguje na (-\infty; 0)??? ale nevim jestli absolutně??? a když bych chtěl i absolutní, tak bych musel použít integrální... Je to tak?

Rumburak

↑ ondrej.hav:

Pro určitý přehled uvedu několik všeobecných informací.

Základní kategorií konvergenčních kriterií jsou kriteria srovnávací, kdy vyšetřovanou řadu porovnáváme podle vhodně zvolených hledisek
s některou jinou řadou, o jejíž konvergenci resp. divergenci již máme předem jasno (případně s integrálem u integrálního kriteria). Speciálními
volbami takové "testovací" řady vznikla kriteria další, například i d'Alembertovo a Cauchyovo , kdy zkoumaná řada je de facto porovnávána
s řadou geometrickou, což pochopíš, když si prostuduješ důkazy příslušných vět. Poznat, které kriterium se kdy hodí, je věcí znalostí těch kriterií
a určité zkušenosti získané praxí.

Řada může být navíc libovolně složitá , předpis pro obecný člen se třeba může i větvit podle vlastností konkretního indexu - například

$a_n(x) \,\,:= \{ \text{\,\, } {\, f(n,x)\,\,\,\,\text{,\,\, pokud}\,\,z(n) = 0, \nl \, g(n,x)\,\,\,\,\text{,\,\, pokud}\,\,z(n) = 1, \nl \, h(n,x)\,\,\,\,\text{,\,\, pokud}\,\,z(n) = 2}$ ,

kde z(n) je zbytek při celočíselném dělení n : 3 .

Podle toho by se pak musela úloha rozpitvat - třebas rozložením na součet tří řad s tím, že pro různé tyto dílčí řady by mohlo být výhodné použít
různých kriterií.

Dále je podstatný rozdíl mezi konvergencí absolutní a neabsolutní, která je jemnějším jevem a proto vyžaduje i jemnější metodiku.

Olin · 15. 06. 2010 16:15

↑ halogan:
Je ovšem otázka, co se kde bere jako známé. Na školách, kde se nejprve probírají integrály a až pak řady, je možné, že se konvergence těchto řad dokazuje pomocí integrálního kritéria.

↑ ondrej.hav:
Ano, pro Leibnizovo kritérium stačí říct, že jsou členy řady klesající a jdou k nule. O absolutní konvergenci neříká nic, takže se použije to integrální.

Rumburak

↑ ondrej.hav:

I. Integrální kriterium použijeme na řadu

(1) $\sum_{n=1}^{\infty} n^x$ ,

její konvergence vyjde pro x < -1, v ostatních případech nastává divergence.

II.A. Pro x < -1 pak automaticky je konvergentní i řada

(2) $\sum_{n=1}^{\infty} (-1)^n n^x$ ,

a to vzhledem k předchozímu výsledku - řada (2) je zde tedy absolutně konvergentní.

B. Pro x >= -1 v řadě (2) určitě nenastane absolutní konvergence (opět vzhledem k I), ale mohla by nastat konvergence neabsolutní
(neboť znaménka členů alternují). Leibnizovo kriterium pro takovou konvergenci požaduje, aby pro pevně zvolené x platilo

(a) posloupnost $(n^x)$ je monotonní,

(b) $\lim_{n \to \infty}n^x = 0$ .

Tvrzení (a) je splněno pro každé x,

Tvrzení (b) je splněno právě tehdy, je-li x < 0 .

Za předpokladu, že -1 <= x < 0 , tedy nastává neabsolutní konvergence ředy (2) ,

pro x >= 0 však není splněno tvrzení (b), tedy není splněno ani $\lim_{n \to \infty}(-1)^n n^x = 0$ , což je nutná podmíka konvergence řady (2),
takže v tomto případě řada (2) nekonverguje (ani neabsolutně a tím spíše ani absolutně).

ondrej.hav · 15. 06. 2010 16:54

↑ Rumburak:Jupí.. děkuji... teď už snad vím jak na to :-D

Matematické Fórum

#1 14. 06. 2010 23:08

Ještě jedna řada

#2 14. 06. 2010 23:31 — Editoval Olin (14. 06. 2010 23:33)

Re: Ještě jedna řada

#3 14. 06. 2010 23:42 — Editoval ondrej.hav (14. 06. 2010 23:54)

Re: Ještě jedna řada

#4 15. 06. 2010 01:09 — Editoval Oxyd (15. 06. 2010 01:12)

Re: Ještě jedna řada

#5 15. 06. 2010 10:31 — Editoval Rumburak (15. 06. 2010 10:35)

Re: Ještě jedna řada

#6 15. 06. 2010 13:54 — Editoval ondrej.hav (15. 06. 2010 14:08)

Re: Ještě jedna řada

#7 15. 06. 2010 14:19

Re: Ještě jedna řada

Oxyd napsal(a):

#8 15. 06. 2010 14:30

Re: Ještě jedna řada

#9 15. 06. 2010 14:43

Re: Ještě jedna řada

#10 15. 06. 2010 14:56

Re: Ještě jedna řada

#11 15. 06. 2010 14:59

Re: Ještě jedna řada

#12 15. 06. 2010 15:42

Re: Ještě jedna řada

#13 15. 06. 2010 16:09 — Editoval Rumburak (15. 06. 2010 17:11)

Re: Ještě jedna řada

#14 15. 06. 2010 16:15

Re: Ještě jedna řada

#15 15. 06. 2010 16:49 — Editoval Rumburak (15. 06. 2010 16:58)

Re: Ještě jedna řada

#16 15. 06. 2010 16:54

Re: Ještě jedna řada

Zápatí