Matematické Fórum

Spybot · 23. 06. 2010 21:29 — Editoval Spybot (23. 06. 2010 21:32)

Zdravim, hral som sa s par AG nerovnostami, asi som uz presyteny, zasekol som sa na nasledovnej:

$x^4-4x+3 \geq 0$ pre $x \in \mathbb R$

Najprv som skusil:
$x^4 \geq 4x-3\nl x^2 \geq \sqrt{1(4x-3)}\nl \frac{x^2+x^2}{2} \geq \sqrt{1(4x-3)}$ Ale obavam sa, ze to by muselo byt $x \geq \frac{3}{4}$

Potom som rozmyslal nad
$x^4-4x+3 \geq 0\nl 3 \geq 4x-x^4=x(4-x^3)$
Pre $x \leq 0$ to jasne plati, pre $x \geq \sqrt[3]{4}$ taktiez a pre $0 < x \leq \sqrt[3]{4}$ urobim:

$3 \geq x(4-x^3)\nl \frac{3+3}{2} \geq \sqrt{x^2(4-x^3)^2}$ , co je AG nerovnost.
Sam vsak pochybujem o matematickej korektnosti mojich uvah, dokazovych uloh som zatial vela nevyriesil.

Vdaka za rady.

Olin · 23. 06. 2010 21:59 — Editoval Olin (23. 06. 2010 22:04)

A opravdu se to má dokazovat pomocí AG? Problém je v tom, že AG nerovnost platí pouze pro nezáporná čísla.

Taky ta tvrzení, která prohlašuješ za AG, nejsou AG - to by musely být ne levých a pravých stranách průměrovány tytéž výrazy, tedy třeba
$\frac{x^2 + (4-x^3)^2}{2} \geq \sqrt{x^2(4-x^3)^2}$ .

EDIT: Už jsem na to přišel. Je třeba dobře vážit.
$\frac{1 \cdot x^4+3 \cdot 1}{1 + 3} \, \geq \, \sqrt[1+3]{(x^4)^1 \cdot 1^3}$

Spybot · 23. 06. 2010 22:22 — Editoval Spybot (23. 06. 2010 22:22)

Tak, vidim, ze som sa riadne sekol. Akurat este jedna otazka:

Zlomok $\frac{1 \cdot x^4+3 \cdot 1}{1 + 3}$ by nemal byt skor $\frac{1 + x^4+1 +1}{1 + 3}$ ? Ked tam podla menovatela maju byt styri prvky... Alebo, preco je tam to nasobenie?

Olin · 23. 06. 2010 22:32

I tak by se to dalo chápat. Já jsem to ovšem pojal jako AG nerovnost s váhami 1 a 3. Vážená AG nerovnost vypadá tak, že pro nezáporná reálná čísla $x_1,\, x_2,\, \dots,\, x_n$ a nezáporné "váhy" (taky reálná čísla) $w_1,\, w_2,\, \dots,\, w_n$ platí

$\frac{w_1 \cdot x_1 + w_2 \cdot x_2 + \dots + w_n \cdot x_n}{w_1 + w_2 + \dots + w_n} \, \geq \, $x_1^{w_1} \cdot x_2^{w_2} \dots x_n^{w_n}$^{\frac{1}{w_1 + w_2 + \dots + w_n}}$ .

Spybot · 23. 06. 2010 22:34

Aha, iste. Na tento typ priemeru som zabudol. Vyriesene.

Matematické Fórum

#1 23. 06. 2010 21:29 — Editoval Spybot (23. 06. 2010 21:32)

AG nerovnost

#2 23. 06. 2010 21:59 — Editoval Olin (23. 06. 2010 22:04)

Re: AG nerovnost

#3 23. 06. 2010 22:22 — Editoval Spybot (23. 06. 2010 22:22)

Re: AG nerovnost

#4 23. 06. 2010 22:32

Re: AG nerovnost

#5 23. 06. 2010 22:34

Re: AG nerovnost

Zápatí