Matematické Fórum

atomic · 24. 06. 2010 15:46

Nemůžu za žádnou cenu přijít na tyto příklady:

1) Určete všechny hodnoty absolutního členu "q" e R tak, aby jeden kořen kvadratické rovnice 4x^2 - 15x + q = 0 byl druhou mocninou druhého kořene. Výsledek: q_1 = -125/2 , q_2 = 27/2.

2) Aniž rovnici x^2 + 2x + 5 = 0 řešíte, určete součet druhých mocnin jejích kořenů. Výsledek: -6

- v knize je napsán postup x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 - 2*x_1*x_2, kterej jsem ale nepochopil: podle mých znalostí a^2 + b^2 v R rozložit nejde, tak co to je za vzorec? Nechápu ho..Nebo jestli je to nějaký jiný řešení, fakt nevim..

3) Aniž rovnici 5x^2 + 8x + 5 = 0 řešíte, sestavte všechny kvadratické rovnice, jejichž kořeny jsou čísla:
a) třikrát větší než kořeny původní rovnice
b) o tři větší než kořeny původní rovnice
Výsledek:
a) k(5x^2 + 24x + 45) = 0
b) k(5x^2 - 22x + 26) = 0

Díky za odpověď

zdenek1

↑ b.r.o.z1:
2.
Upřesnění:
$x_^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=(-p)^2-2q=4-10$

Edit: Tak sorry, už jsi to tam dal. :-)

b.r.o.z1

1) Využiješ Vietovy vzorce: $4(x^2-\frac{15}{4}+\frac{q}{4})$
$x_1+x_2=-p$
$x_1\cdot x_2=q$

$x_1$ =je neznama treba y
$x_2=y^2$

Z 1. Vietova vzorce:
$x_1+x_2=-p$
$y^2+y=\frac{15}{4}$
$y^2+y-\frac{15}{4}$
$y_1=\frac{-1+4}{2}$
$y_2=\frac{-1-4}{2}$
$y_1=\frac{3}{2}$
$y_2=-\frac{5}{2}$

Z 2. Vietova vzorce(vyšla 2 y => 2 q)
$\frac{3}{2}\cdot (\frac{3}{2})^2=q_1$
$-\frac{5}{2}\cdot (\frac{-5}{2})^2=q_2$
$q_1=\frac{27}{8}$
$q_2=-\frac{125}{8}$
pzn. jelikožjsem předtim nahoře vytkl 4, teď to musim vrátit
=> $q_{k1}=\frac{27}{8}\cdot 4 = \frac{27}{2}$
$q_{k2}=-\frac{125}{8}\cdot 4 =- \frac{125}{2}$

pzn. $q_{k2}$ a $q_{k1}$ jsou konecne hodnoty q, po kterém se pídíme

2) Pzn: $x^2+px+q=0$
Opět využiješ Vietovy vzorce:
$x_1+x_2=-p$
$x_1\cdot x_2=q$
$x_1+x_2=-2$
$x_1\cdot x_2=5$

my hledáme m, pro které platí: $(x_1)^2+(x_2)^2=m$
upravíme:
$(x_1+2x_1x_2+x_2^2)-2x_1x_2=m$
$(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=m$
dosadíme z V. vzorců pro danou rovnici výše
$(-2)^2-2\cdot 5 = 4-10 = -6 = m$

3)Zase příklad na Vietovy vzorce
$5(x^2+\frac{8}{5}x+1)=0$
$x_1+x_2=-\frac{8}{5}$
$x_1\cdot x_2=1$

a) hledáme 3krát větší kořeny => nová rovnice bude vypadat:(velkým písmenem značuju hodnoty pro novou rovnici - $P, Q, X_1, X_2)$
$5(x^2+Px+Q)=0$
$X_1+X_2=-P$
$X_1=3x_1 ; X_2=3x_2$
$3x_1+3x_2=-P$
$3(x_1+x_2)=-P \rightarrow$ $-\frac{8}{5}\cdot 3 = -P$
$-P=-\frac{24}{5}$
$P=-\frac{24}{5}$
$Q=X_1\cdot X_2$
$Q=3x_1\cdot 3x_2$
$Q=9x_1x_2$
$Q=9$
=> nová rovnice je: $5(x^2+\frac{24}{5}\cdot x+9)=0$ po úpravě: $5x^2+24 x+45=0$

b) hledáme kořeny o 3 větší => nová rovnice bude vypadat:(velkým písmenem značuju hodnoty pro novou rovnici - $P, Q, X_1, X_2)$
$5(x^2+Px+Q)=0$
$X_1+X_2=-P$
$X_1=x_1+3 ; X_2=x_2+3$
$x_1+3+x_2+3=-P$
$x_1+x_2+6=-P \rightarrow$ $\frac{22}{5}= -P$
$P=-\frac{22}{5}$
$Q=X_1\cdot X_2$
$Q=(x_1+3)\cdot (x_2+3)$
$Q=x_1x_2+3x_1+3x_2+9$
$Q=x_1x_2+3(x_1+x_2)+9$
$Q=1+3(-\frac{8}{5})+9$
$Q=\frac{26}{5}$
=> nová rovnice je: $5(x^2-\frac{22}{5}\cdot x+\frac{26}{5})=0$ po úpravě: $5x^2-22 x+26=0$

b.r.o.z1 · 24. 06. 2010 17:20

↑ b.r.o.z1:

Kdyby byly nějaké dotazy neboj se zeptat:-D Fuj to byla fuška to sem použitím TeXu dostat:-D

b.r.o.z1 · 24. 06. 2010 17:29

↑ BrozekP:

díky za tvůj typ :-)

je to správně aspoň?:-D

Pavel Brožek · 24. 06. 2010 17:49

↑ b.r.o.z1:

3a nemáš dobře. Pak tam používáš q v jiném smyslu než je v zadání, to není vhodné. (Dokonce ho sám používáš ve dvou různých smyslech.)

b.r.o.z1 · 24. 06. 2010 18:06

↑ BrozekP:
bohužel, nějak nechápu co máš na mysli

Pavel Brožek · 24. 06. 2010 18:28

1) Tvé q není to q ze zadání. Ty používáš q jako koeficient u absolutního členu v kvadratickém trojčlenu při jednotkovém koeficientu u kvadratického členu. V zadání ale není u $x^2$ jednička.

Pak tam máš dál dokonce jednou $q_1=\frac{27}{8}$ a o chvíli později $q_1=\frac{27}{2}$ . Takhle se to nedá psát, musíš to od sebe nějak odlišit.

3a)

$3(x_1+x_2)=-P$

Za $x_1+x_2$ dosadíš $-\frac85$ a dostaneš $P=+\frac{24}5$ (ty tam máš mínus). Pak navíc do $5(x^2+Px+Q)=0$ dosadíš úplně jiné P.

b.r.o.z1 · 24. 06. 2010 18:38

↑ BrozekP:

ok děkuji, musim si na to příště dát větší pozor při přepisování

atomic · 24. 06. 2010 21:34

Díky moc, strašně jste mi pomohli..mne bylo jasný, že všechno je to pomocí Vietových vztahů, ale nevěděl jsem, jak je použít. Tu 3a jsem nakonec zjistil jak vypočítat, ale nechápal jsem, proč mi stejným postupem nevychází i 3b..Pak jsem zjistil že je potřeba uvést kvadratickou rovnici do základního tvaru, jinak to nejde. Ta 3a totiž vyšla, i když jsem počítal rovnou s 5x^2...Ale ještě jedna věc mi není jasná..pořád nechápu to rozložení a^2 + b^2, resp. to 2. cvičení..hned ten první krok, tu úpravu..nemohl by mi to někdo podrobně popsat? Nebo to je nějaký vzorec? Něco ve stylu (a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2?? Nebo co? Já to fakt nepobírám..

Pavel Brožek · 24. 06. 2010 21:45

↑ atomic:

Budu upravovat výraz $a^2+b^2$ :

$a^2+b^2=a^2+b^2+0=a^2+b^2+(2ab-2ab)=\nl (a^2+b^2+2ab)-2ab=(a^2+2ab+b^2)-2ab=(a+b)^2-2ab$

Při odvozování jsem nejdříve přičetl nulu (to ničemu nevadí), tu jsem si napsal jako $2ab-2ab$ (to je jistě nula) a pak už jen upravoval a použil vzorec $(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ . Platí tedy rovnost

$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab$ .

(To si můžeš snadno ověřit roznásobením pravé strany.)

zdenek1 · 24. 06. 2010 21:47

↑ atomic:
Ano, něco ve stylu
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$ a jenom převedš $2ab$ na druhou stranu
$(a+b)^2-2ab=a^2+b^2$

atomic · 24. 06. 2010 21:55

WOW :-O ..to je panečku fígl, to by mne teda nenapadlo ani za nic! ..i když si teď matně vzpomínám, že jsme ho ve škole kdysi dááávno v jedný písemce používali..no každopádně pro mne novota, ale už to nikdy nezapomenu, jak jsem se s tim tady dlouho lámal..každopádně díky moc :)

Matematické Fórum

#1 24. 06. 2010 15:46

Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice

#2 24. 06. 2010 16:38 — Editoval zdenek1 (24. 06. 2010 16:39)

Re: Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice

#3 24. 06. 2010 17:19 — Editoval b.r.o.z1 (24. 06. 2010 18:38)

Re: Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice

#4 24. 06. 2010 17:20

Re: Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice

#5 24. 06. 2010 17:29

Re: Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice

#6 24. 06. 2010 17:49

Re: Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice

#7 24. 06. 2010 18:06

Re: Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice

#8 24. 06. 2010 18:28

Re: Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice

#9 24. 06. 2010 18:38

Re: Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice

#10 24. 06. 2010 21:34

Re: Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice

#11 24. 06. 2010 21:45

Re: Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice

#12 24. 06. 2010 21:47

Re: Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice

#13 24. 06. 2010 21:55

Re: Vztahy mezi kořeny a koeficienty kvadratické rovnice

Zápatí