Matematické Fórum

easy · 24. 06. 2010 20:01 — Editoval easy (24. 06. 2010 20:02)

Zdravím,

mohl by mi někdo pomoci najít chybu ve výpočtu?

Nekonečná geometrická řada se společným poměrem $r$ , $0<r<1$ je právě taková, že součet jejích prvních 3 členů je polovina součtu série. Najděte přesnou hodnotu $r$ .

Rovnici jsem postavil takto:
$S_3 = \frac{1}{2} S_\infty$
$\frac{u_1 (1-r^3)}{1-r} = \frac{1}{2}. \frac{u_1}{1-r}$ \\ $u_1$ se vykrátí
$(1-r^3)(2-2r) = 1-r$
$2r^4 -2r^3 -r +1= 0$

Uhádnul jsem kořen $r=1$ , vydělil rovnici tímto kořenem a dostanu:
$(r-1)(2r^3 -1) = 0$
$r=1$ - nevyhovuje

$2r^3 = 1$
$r^3 = \frac{1}{2}$
$r = \frac{1}{\sqrt[3]{2}}$

Jenže podle výsledků, $r = \sqrt[3]{\frac{3}{2}}$ . Přehlédl jsem něco? Nebo je to jen špatně udaný výsledek? Děkuji.

Pavel Brožek · 24. 06. 2010 20:11

Vychází mi stejný výsledek jako tobě.

Pavel Brožek · 24. 06. 2010 20:14

Navíc pro $r = \sqrt[3]{\frac{3}{2}}$ ani neplatí $0<r<1$ .

LukasM · 24. 06. 2010 20:18 — Editoval LukasM (24. 06. 2010 20:19)

↑ easy:
Mně vychází taky totéž. Jen doplním, že hádání kořenu sis mohl ušetřit, kdybys hned na začátku rovnici vynásobil (1-r) - to můžeš, protože to nula určitě není.

Jinak na zajímavou diskuzi by možná bylo chování v případě, že první člen je nula.. Nebo je v definici geometrické řady stanoveno, že tomu tak není?

easy · 24. 06. 2010 20:18

Děkuji. Nenapadlo mě zkontrolovat odpověd tímto způsobem ale dává to smysl.

zdenek1 · 24. 06. 2010 20:19

↑ easy:
Podle mě je to dobře.
Jen mi není jasné, proč na druhém řádku, když zkrátíš $u_1$ , nezkrátíš i $1-r$ ve jmenovateli a neřešíš $1-r^3=\frac12$

easy · 24. 06. 2010 20:22

↑ LukasM:

Geometrická řada není definována. Pokud by byla prvním členem nula tak by série konvergovala k nule, nebo ne? Pokud ano, tak by to ani nebyla série jelikož každý další výraz by byl roven nule.

easy · 24. 06. 2010 20:24

↑ zdenek1:

Ano mohl jsem, poprvé jsem to takto udělal. Když jsem to počítal podruhé tak jsem se chtěl ujistit že nedělám chybu v tomhle. Děkuji

LukasM · 24. 06. 2010 20:55

↑ easy:
Proc by to nebyla rada? Co by to jinak bylo? Kazdy clen posloupnosti by byl nula, vsechny cleny posloupnosti castecnych souctu by byly nulove, limita posloupnosti castecnych souctu by byla nula - soucet rady by byl nula. V tom podle mne neni nikde problem. Asi by o takove rade ale uz neslo rict ze je geometricka - jak je geometricka rada presne definovana nevim (nejak ale urcite).

Jinak mne neberte moc vazne, nechce se mi ucit, tak tu vymejslim ptakoviny:-)

Abych byl taky k necemu uzitecny: pravdepodobne se ucis z anglicke literatury, tak jen upozornim, ze misto spolecny pomer se v cestine pouziva slovo "kvocient", a misto serie se zpravidla rika "rada"

easy · 24. 06. 2010 21:13

↑ LukasM:

Děkuji, už nějakou dobu nemám matematiku v češtině tak tyto výrazy neznám.

Matematické Fórum

#1 24. 06. 2010 20:01 — Editoval easy (24. 06. 2010 20:02)

Geometrická řada

#2 24. 06. 2010 20:11

Re: Geometrická řada

#3 24. 06. 2010 20:14

Re: Geometrická řada

#4 24. 06. 2010 20:18 — Editoval LukasM (24. 06. 2010 20:19)

Re: Geometrická řada

#5 24. 06. 2010 20:18

Re: Geometrická řada

#6 24. 06. 2010 20:19

Re: Geometrická řada

#7 24. 06. 2010 20:22

Re: Geometrická řada

#8 24. 06. 2010 20:24

Re: Geometrická řada

#9 24. 06. 2010 20:55

Re: Geometrická řada

#10 24. 06. 2010 21:13

Re: Geometrická řada

Zápatí