Matematické Fórum

scotie · 27. 06. 2010 22:45

Mam najst Taylorov rad a urcit jeho polomer konvergencie..Taylorov rad som nasiel ale ten polomer mi robi problem. Prosim Vas pomozte mi. Dopredu moc dakujem

Olin · 27. 06. 2010 23:33

Pokud jde pouze o poloměr, podílové kritérium by mělo dát výsledek poměrně snadno.

scotie · 27. 06. 2010 23:39 — Editoval scotie (27. 06. 2010 23:41)

↑ Olin:

Len to podielove kriterium mi robi trosku problemy s tou premennou x :(
A ako to je vlastne dalej. Vopocitam limitu dostanem urcity vysledok, urobim prevratenu hodnotu a to je vlastne ten polomer?Ci sa tam este dalej nieco rata?

Olin · 27. 06. 2010 23:54

Záleží na tom, jak se bude postupovat. Pokud prostě použijeme limitní podílové kritérium na danou řadu, dostaneme jako výsledek limity nějaký výraz závislý na $|x+2|$ a vyzkoumáme, kdy je tento výraz menší než 1. Nemělo by ale být těžké také dokázat, že pokud existuje limita $\lim_{n \to \infty} \|\frac{a_n}{a_{n+1}}\|$ , tak je její hodnota poloměr konvergence mocninné řady $\textstyle \sum_{n=0}^{\infty} \, a_n (x-x_0)^n$ .

Musím ovšem upozornit na to, že vzorec pro obecný člen řady je vypočítán špatně - exponent u -1 by měl být spíše pouze $n$ .

scotie · 28. 06. 2010 00:03

↑ Olin:

No to som si vsimol aj ja to s tym clenom. Vyskusam to vypocitat len skoda ze si nemozem overit vysledok.Tento priklad bol na skuske.
A este jedna otazka ked budem pouzivat limitne podielove kriterium tak vlastne rozsirujem aj vyraz (x+2)^n?

Olin · 28. 06. 2010 00:18 — Editoval Olin (28. 06. 2010 00:19)

Asi nechápu zcela dotaz. Pokud budu přímočaře používat limitní podílové kritérium, tak budu počítat limitu

$L = \lim_{n \to \infty} \| \frac{\quad \frac{(n+2)(x+2)^{n+1}}{2^{n+3}} \quad}{\frac{(n+1)(x+2)^n}{2^{n+2}}} \|$ .

Potom vyšetřím, pro která $x$ je $L < 1$ (řada absolutně konverguje) a pro která je $L > 1$ (řada diverguje) - z těchto informací již dostanu poloměr konvergence.

Výše uvedená limita už je poněkud zjednodušená, využívám např. toho, že $(-2)^{n+2} = (-1)^{n+2} \cdot 2^{n+2}$ a $\frac{(n+1)!}{n!} = n+1$ .

scotie · 28. 06. 2010 00:37

↑ Olin:

Vlastne si mi odpoved ukazal.A este jedna otazocka co sa stalo s vyrazom (-1)^n?Nerozsirujem ho na (-1)^(n+1)?

scotie · 28. 06. 2010 13:22 — Editoval scotie (28. 06. 2010 13:25)

No zistil som ze limita daneho radu je $\frac12|x+2|$ a ze obor konvergencie je $(-4,0)$ ale neviem najst ten polomer :(((

Olin · 28. 06. 2010 14:28

$(-1)^n$ se vykrátilo s $(-1)^{n+2}$ , které vzniklo vytknutím z $(-2)^{n+2}$ .

Nalezení poloměru konvergence při znalosti oboru konvergence je už triviální - když víme, že kruh konvergence je nějaký interval $(x_0-\varrho,\, x_0 + \varrho)$ (podrobněji jsem se o tom rozepisoval zde). Střed $x_0$ už dokonce známe, takže poloměr konvergence $\varrho$ je evidentní.

scotie · 28. 06. 2010 14:48

↑ Olin:

No nemohol by si mi to skor ukazat na tomto konkretnom priklade?Vies snazim sa tomu pochopit ale nejako mi to nejde :(
Ale moc ti dakujem dost si mi s tym pomohol cenim si to :)

Stýv · 28. 06. 2010 15:02

↑ Olin: interval není tak úplně kruh...

Olin · 28. 06. 2010 15:24 — Editoval Olin (28. 06. 2010 15:25)

↑ Stýv:
Ale tento termín se používá - viz např. zde.

Jelikož je $(-2-\varrho,\, -2 + \varrho) = (-4,\, 0)$ , je nalezení poloměru $\varrho$ záležitostí řešení lineární rovnice.

scotie · 28. 06. 2010 15:53

↑ Olin:

Čize ak som ta spravne pochopil $(-2-\varrho,\, -2 + \varrho) = (-4,\, 0)$ tak $-2-\varrho = -4$ a $-2+\varrho = 0$ a pri obidvoch je vysledok $\varrho = 2$

Olin · 28. 06. 2010 15:58

Přesně tak.

Stýv · 28. 06. 2010 18:37

↑ Olin: nj, co může člověk chtít od informatiků... mně přijde rozhodně lepší naše názvosloví, kde jsme kruhu říkali kruh a intervalu interval

Matematické Fórum

#1 27. 06. 2010 22:45

Taylorov Rad - Jeho polomer konvergencie help

#2 27. 06. 2010 23:33

Re: Taylorov Rad - Jeho polomer konvergencie help

#3 27. 06. 2010 23:39 — Editoval scotie (27. 06. 2010 23:41)

Re: Taylorov Rad - Jeho polomer konvergencie help

#4 27. 06. 2010 23:54

Re: Taylorov Rad - Jeho polomer konvergencie help

#5 28. 06. 2010 00:03

Re: Taylorov Rad - Jeho polomer konvergencie help

#6 28. 06. 2010 00:18 — Editoval Olin (28. 06. 2010 00:19)

Re: Taylorov Rad - Jeho polomer konvergencie help

#7 28. 06. 2010 00:37

Re: Taylorov Rad - Jeho polomer konvergencie help

#8 28. 06. 2010 13:22 — Editoval scotie (28. 06. 2010 13:25)

Re: Taylorov Rad - Jeho polomer konvergencie help

#9 28. 06. 2010 14:28

Re: Taylorov Rad - Jeho polomer konvergencie help

#10 28. 06. 2010 14:48

Re: Taylorov Rad - Jeho polomer konvergencie help

#11 28. 06. 2010 15:02

Re: Taylorov Rad - Jeho polomer konvergencie help

#12 28. 06. 2010 15:24 — Editoval Olin (28. 06. 2010 15:25)

Re: Taylorov Rad - Jeho polomer konvergencie help

#13 28. 06. 2010 15:53

Re: Taylorov Rad - Jeho polomer konvergencie help

#14 28. 06. 2010 15:58

Re: Taylorov Rad - Jeho polomer konvergencie help

#15 28. 06. 2010 18:37

Re: Taylorov Rad - Jeho polomer konvergencie help

Zápatí