Matematické Fórum

<h1>dydy</h1> · 29. 06. 2010 19:13

Ahoj, chtěl bych nějak vidět funkci, které je s.s. ale není lip. Z definice sice hezky je vidět, jaké musí být ( u ss musí funkce ležet v obdélníčku, ale nesmí vylézt z horní či dolní strany; u Lip. se udělá ten samý obdélníček, ale funkce nesmí vylézt z úhlopříček). Tedy snad to znáte. No a teď když si oba objekty představíte: obdélník s úhlopíčkou (bod x střed). Je sice vidět že se jedná o různé podmínky, ale nenapadla mě žádná funkce. která by byla ss ale ne lip. Napadne vás nějaká?

Zde je objekt

|-----|
|\ /|
| x |
|/ \ |
|-----|

Opravdu mě nic nenapadlo.

Pavel Brožek · 29. 06. 2010 19:26

Myslím, že $\sqrt x$ na $[0,1)$ je stejnoměrně spojitá, ale není lipschitzovská.

<h1>dydy</h1>

No právě. Ale nějaká funkce na R (nebo aspon uprostřed intervalu?

Ale mimochodem ( $sqrt x$ )' je k $+ \infty$ u nuly

a nevíte o nějakém pěkné aplikaci, která třeba zobrazí řešení dif rovnic. Wolfram je skvělý, ale například http://www.wolframalpha.com/input/?i=y'=sin(y)ln(x)/x nezobrazí uplně všechny řešení ( $+2k \pi$ )

Pavel Brožek · 29. 06. 2010 20:35

Tak $\sqrt[3]x$ . Čemu vadí, že je derivace v nule nekonečná?

ondrej.hav · 29. 06. 2010 21:02

Tak třeba e^x... není lipschitovská...

<h1>dydy</h1>

1:

Ale e^x není zase stejnoměrně spojitá...

Společným znakem stej.spoj a Lip je ,že 1. derivace je omezená (myšleno pro různá x z def oboru,... tzn, že y'(x)<K pro všechny x z def oboru).
Někde jsem našel zmínku, existují i Lip funkce, které derivaci třeba nemají. Škoda že nevím kde a podrbnosti.

A ještě nevíte, kde bych našel nějaká přehled "divných funkcí" ( dirichlet, cantor, čertovy schody, weistrass....)

2:
derivace v nule je nekonečná... Nemůže být tedy Lip, Protože Konstanta Lip by musela být nekoněčně velká (úhlopříčky by tedy šly skoro k sobě)

Pavel Brožek · 29. 06. 2010 21:30

↑ <h1>dydy</h1>:

Nesouhlasím, nemůže to být společným znakem, protože to není znakem stejnoměrné spojitosti. Např. ta třetí odmocnina nemá omezenou první derivaci, přesto je stejnoměrně spojitá.

Edit: K 2: Netvrdím, že třetí odmocnina je lipschitzovská. Tvrdím, že je stejnoměrně spojitá. Na takovou funkci ses ptal.

Rumburak

↑ <h1>dydy</h1>:
O funkcích definovaných na intervalu připojím několik poznámek - snad pomohou.

1. Funkce f(x) = |x| je Lipschitzovská , v bodě 0 nemá derivaci.
Avšak každá funkce lipschitzovská je zároveň též absolutně spojitá a tedy s konečnou variací na každém uzavřeném intervalu, tudíž vyjádřitelná
jako rozdíl dvou monotónních funkcí. Má proto vlastní derivaci skoro všude (= až na body množiny o Lebesgueově míře 0).

2. Absolutně spojitá funkce je též stejnoměrně spojitá.

3. Na kompaktním (=uzavřeném) intervalu je stejnoměrně spojitou funkcí KAŽDÁ spojitá funkce, tedy i taková, která nemá derivaci v žádném bodě -
takové spojité funkce existují a dle bodu 1 nemohou být lipschitzovské.

lukaszh · 30. 06. 2010 10:14

↑ BrozekP:

Ja myslím, že nie je. Môžeš mi to prosím rozpísať?

Pavel Brožek · 30. 06. 2010 10:33

↑ lukaszh:

Jak napsal Rumburak: „Na kompaktním (=uzavřeném) intervalu je stejnoměrně spojitou funkcí KAŽDÁ spojitá funkce…“

$\sqrt x$ je na $[0,1]$ spojitá, tedy i stejnoměrně spojitá. Tím, že se omezím na $[0,1)$ (to bylo zbytečné, měl jsem tam tu jedničku nechat), nic nepokazím. Ale můžu to zkusit dokázat i z definice, pokud budeš chtít.

lukaszh · 30. 06. 2010 10:52

↑ BrozekP:

Ja mám problém hlavne s tou nulou. Dokázať to bez nuly viem. Skôr by som to pochopil dôkazom z definície. Vďaka.

Rumburak

↑ lukaszh:

K důkazu věty "Funkce spojitá na intervalu [a, b] je na tomto intervalu stejnoměrně spojitá" je potřeba využít kompaktnosti intervalu [a, b] ,
snad nejlépe přes Borelovu větu.

Momentálně jsem v časové tísni, doplním případně později.

Pavel Brožek · 30. 06. 2010 11:39

Dokazuji tedy

$\forall \varepsilon>0\,\exists\delta>0\,\forall x,y\in[0,1]:\quad|x-y|<\delta\Rightarrow|\sqrt x-\sqrt y|<\varepsilon$ .

Pro libovolné $\varepsilon>0$ zvolím $\delta=\frac{\varepsilon^2}{4}$ . Dále mějme libovolné $x,y\in[0,1]$ , bez újmy na obecnosti $x<y$ (případ $x=y$ je triviální a $x>y$ bychom vyřešili analogicky k následujícímu postupu). Mohou nastat následující varianty:

1) $x\leq\frac{\varepsilon^2}{4}$ :

Protože předpokládáme $|x-y|<\delta$ , musí být $y<x+\delta\leq\frac{\varepsilon^2}{4}+\frac{\varepsilon^2}{4}=\frac{\varepsilon^2}{2}<\varepsilon^2$ .

$|\sqrt x-\sqrt y|=\sqrt{y}-\sqrt{x}\leq\sqrt{y}<\sqrt{\varepsilon^2}=\varepsilon$

2) $x>\frac{\varepsilon^2}{4}$ :

Podle Lagrangeovy věty o střední hodnotě existuje $\xi\in(x,y)$ takové, že

$|\sqrt{x}-\sqrt{y}|=|x-y|\cdot\frac{\rm{d}\sqrt t}{\rm{d}t}|_{t=\xi}=|x-y|\cdot\frac{1}{2\sqrt{\xi}}<\frac{\varepsilon^2}{4}\cdot\frac{1}{2\sqrt{x}}<\frac{\varepsilon^2}{4}\cdot\frac{1}{2\sqrt{\frac{\varepsilon^2}{4}}}=\frac{\varepsilon}{4}<\varepsilon$

lukaszh · 30. 06. 2010 13:20

↑ BrozekP:

Ďakujem. Už je mi to jasné. Môj problém spočíval v tom, že som nevedel odhadnúť výraz

$\sqrt{y}-\sqrt{x}=\frac{y-x}{\sqrt{y}+\sqrt{x}}\,<\,\frac{\delta}{2\sqrt{x}}$

Rumburak

Doplňuji slíbený obecný důkaz.

Mějme funkci f spojitou na intervalu $I = [a, b]$ a zvolme $\varepsilon > 0$ . K bodu $x \in [a,b]$ nechť je $\delta (x) > 0$ takové, že
$\forall_{y}\,\,$y \,\in \,I\,\cap\, U^{\delta(x)}(x) \,\Rightarrow \,|f(x) - f(y)| \,<\, \frac{1}{2}\varepsilon \,$$ (značíme $U^{r}(x)\,:=(x-r, \,x+r)$ ).
Takže

(0) jsou-li $u,v \,\in \,I\,\cap\, U^{\delta(x)}(x)$ , potom $|f(u)-f(v)|\,\le\,|f(u)-f(x)|\,-\,|f(x)-f(v)| \,<\, \varepsilon$ .

Označme $\Delta(x)\,:=\frac {1}{2}\delta(x)$ , $S\,:=\{\,U^{\Delta(x)}(x)\,;\,x\in I\,\}$ .
Množina S je zřejmě otevřeným pokrytím intervalu I (tj. každý bod intervalu I leží v některé množině systému S) a podle Borelovy věty
existuje konečná $S'\subseteq S$ , která je rovněž (tedy "stále ještě") pokrytím intervalu I. Existují proto body

(1) $x_1\,<\,x_2 \,<\,...\,<\,x_n$

intervalu I takové, že $S'\,=\{\,U^{\Delta(x_i)}(x_i)\,;\,\,i = 1,2,\,...,\,n\,\}$ . Položme $\eta \,:= \min \,\{\Delta(x_i)\,;\,\,i = 1,2,\,...,\,n\,\}$ .
Zvolme $u,v\,\in\, I$ tak, aby $|u-v| \,<\, \eta$ . $S'$ je pokrytí intervalu I, proto mezi body (1) existuje $x_k$ takový, že $u\in U^{\Delta(x_k)}(x_k)$ .
Ze vztahů $\eta \le \Delta(x_k) = \frac {1}{2}\delta(x_k)$ plyne

1) $u \in U^{\delta(x_k)}(x_k)$

2) $|v\, -\, x_k|\,\le\,|v\, -\, u|\,+\,|u\,-\,x_k|\,<\,\eta\,+\,\Delta(x_k)\,\le\,\delta(x_k)$ , tedy rovněž $v \in U^{\delta(x_k)}(x_k)$ .

Z (0) pak dostáváme $|f(u)-f(v)| \,<\, \varepsilon$ .
K danému číslu $\varepsilon > 0$ jsme tak našli $\eta > 0$ takové, že $\forall_{u,v}\,\,$u,v \,\in \,I\,& \,|u\,-\,v|\,<\,\eta \,\Rightarrow \,|f(u) - f(v)| \,<\, \varepsilon \,$$ .

Není těžké přepsat důkaz do tvaru s abstraktními metrikami (pokud definiční obor funkce f je kompaktní).