Matematické Fórum

check_drummer

(Kladnou reálnou) funkci f n (kladných reálných) proměnných (x1,...,xn)=X nazveme "průměr", jestliže splňuje (používám značení X jakožto vektorové proměnné):

1) (monotónnost) f je rostoucí, tj.: jestliže (*) xi<=yi pro všechna i, pak (**) f(X)<=f(Y). (Pokud navíc platí, že: "Pokud pro nějaké "i" nastává v (*) ostrá nerovnost, pak v (**) nastává ostrá nerovnost.", pak f nazveme "ostře rostoucím průměrem".)
2) (homogenita) f(kX)=kf(X) pro všechna (reálná) k
3) (omezenost) min(X)<=f(X)<=max(X)
4) (symetrie) pro libovolnou permutaci složek vektoru X (X' je výsledný vektor po aplikaci této permutace) platí f(X')=f(X)
5) (diferencovatelnost) f je diferencovatelná (má (parciální) derivace) ve všech proměnných. Požadujme pro sílu předpokladu i to, že f má v každm bodě totální diferenciál.
6) (vztah f pro n a n+1 argumentů) označme $a=f_{n}(x_1,..,x_n), A=[a,..,a]$ , kde A obsahuje n složek a. Pak $f_{n+1}(x_1,..,x_{n+1})=f_{n+1}(A,x_{n+1})$

Pozn: "Průměr" je chápán ne jako jediná funkce, ale jako třída funkcí - pro každé j je nutno definovat funkci fj() mající j argumentů.

Dokažte nebo vyvraťte:
Pokud jsou f,g dva různé ostře rostoucí průměry, pak f(X)=g(X) pouze pokud xi=xj pro všechna i,j (Připomínám značení X=(x1,..,xn)).
(Pokud uvedené tvrzení neplatí (pozn: nejsem si tím jist), pokuste se najít dodatečné předpoklady, za kterých již platit bude.)

Úlohu jsem uvedl v této sekci, protože její povaha je primárně algebraická, nicméně i analytický přístup je vítán.

Červeně jsou označeny změny oproti původnímu zadání.

Pavel Brožek · 26. 07. 2010 23:29

Co třeba

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

check_drummer · 27. 07. 2010 20:23

↑ BrozekP:

Je to tak, Zkusím tedy úlohu omezit - myslím, že vhodné omezení by mohlo být, aby byla f "všude" diferencovatelná.
Budeme se rovněž zabývat jen kladnými čísly. (Vše s poznámkou, že zadání bylo editováno.)

Ještě mě napadlo, že průměr musí mít nějakou vlastnost, aby si funkce f o n argumentech a funkce f o (n+1) byly nějakým způsobem "podobné", resp. existoval nějaký vztah, který mezi nimi platí - např. $f_{n+1}(x_1,..,x_{n+1}) = f_2(f_n(x_1,..,x_n),x_{n+1})$ (toto neplatí, ale pokusím se najít nějakou platnou alternativu tohoto vztahu), ale to musím ještě promyslet a formalizovat, pravděpodobně s pomocí váženého průměru.

Samozřejmě návrhy, kterak dospět k cíli (= najít předpoklady takové, aby výše uvedená věta platila), jsou vítány.

Pavel Brožek · 27. 07. 2010 21:50

↑ check_drummer:

Myslím, že diferencovatelnost nebude stačit. Ta má funkce je diferencovatelná, problém je jen v $x_1=x_2$ . Stačilo by podle mě to trochu upravit (přidat třetí mocninu a vhodně navolit konstanty).

K tomu dalšímu vztahu, který by měl platit pro průměr – pro aritmetický průměr platí

$f_{n+1}(x_1,..,x_{n+1}) = \frac{2}{n+1}f_2(n\cdot f_n(x_1,..,x_n),x_{n+1})$ .

check_drummer · 27. 07. 2010 21:55

Připojil jsem omezení na funkci f - bod 5 (diferencovatelnost), ale nejsem si jist, zda je úplně podstatný. Podstatnější je bod 6 a poznámka, že f je nutno definovat pro všechny počty argumentů (2,3, ...) a dle bodu 6) by měl platit uvedený vztah.

Motivací celého snažení je mimo jiné dokázat nerovnost mezi aritmetickým, geometrickým, harmonickým (a ostatními) průměry jinak než přímo (nechci využít vlastnosti konkrétních průměrů). Výše uvedenou větou by to možné bylo. Otázka však je, za jakých předpokladů platí. Triviálním předpokladem by mohlo být "nechť f je geometrický, harmonický nebo geometrický průměr" (pak věta jistě platí), ale tento předpoklad je z pohledu motivace vyslovení této věty nezajímavý.

Každý nápad byť i neúplný je vítán - může ho rozvinout někdo jiný.

check_drummer · 27. 07. 2010 21:58

↑ BrozekP:
Také si myslím, že lze funkci nějakým způsobem vyhladit, aby měla derivaci. Podstatnější bude vztah mezi průměry o různém počtu argumentů.

check_drummer · 27. 07. 2010 22:22

Pro vážený průměr bude vztah ještě jednodušší. Přijmeme-li implicitní předpoklad, že váha prvku, který je (váženým) průměrem n prvků je rovna součtu vah těchto prvků, pak prostě:
(*) $f_{n+1}(x_1,..,x_{n+1}) = f_2(f_n(x_1,..,x_n),x_{n+1})$ .
Obyčejný (nevážený) průměr pak z váženého obdržíme tak, že položíme váhu každého prvku rovnu jedné.
U váženého průměru tedy ke každému prvku xi přibyde váha ai (tj. f bude mít 2n proměnných). To, co platí pro průměr (body 1 až 6) bude zachováno (pro n složkový vektor X) s tím, že s permutací xi musíme "shodně" permutovat i ai (bod 4). A bod 6 bude nahrazen bodem (*).
Navíc homogenitu ve vektoru vah ai by bylo asi možno definovat tak, že f musí splňovat: f(kA)=f(A), tj. poměrná změna vah nemá na výsledný průměr vliv (při pevném vektoru X).

No ale vážený průměr bych do úvah zapojil, až pokud se podmínky 1 až 6 ukáží jako nedostatečné.

Matematické Fórum

#1 26. 07. 2010 21:03 — Editoval check_drummer (27. 07. 2010 21:48)

Průměr - obecná vlastnost

#2 26. 07. 2010 23:29

Re: Průměr - obecná vlastnost

#3 27. 07. 2010 20:23

Re: Průměr - obecná vlastnost

#4 27. 07. 2010 21:50

Re: Průměr - obecná vlastnost

#5 27. 07. 2010 21:55

Re: Průměr - obecná vlastnost

#6 27. 07. 2010 21:58

Re: Průměr - obecná vlastnost

#7 27. 07. 2010 22:22

Re: Průměr - obecná vlastnost

Zápatí