Matematické Fórum

↑ Olin:

Existuje jistě mnoho metod, jak spočítat tuto nekonečnou řadu. Po několika pokusech, které se mi příliš nelíbily, jsem našel celkem elegantní způsob, jak celou věc zajistit. Budu potřebovat pouze základní poznatky o potenčních řadách, především ten, který hovoří o stejnoměrné konvergenci.

Skrytý text:

Na základě dekompozice sumandu na parciální zlomky máme snadno



Nyní definujeme funkci pro takto:



Pro dostaneme tudíž



Poslední výraz se dá ale na oboru konvergence potenční řady pro zapsat jako lineární kombinace čtyř geometrických řad, které budou konvergentní. Proto



Snadno odtud dostaneme, že musí platit



Odtud již použitím základních vzorců vypočítáme určitý integrál, tj. bude



Protože navíc platí



musí být také

↑ Olin: Jistě, čtyřnásobná integrace mě napadla hned. Ale zrovna toto považuji za krajně nechutné řešení. Proto jsem uvedl řešení s jedinou itnegrací (snad to bude poučné pro zájemce o tuto problematiku). Tím je navíc vyřešena úloha kompletně. Přerovnávání známých řad mě napadlo také, ale museli bychom (jak píšeš) předpokládat znalost součtu. A tomu jsem se vědomě vyhýbal.