Matematické Fórum

Asinkan

Ahoj,
Předpokládejme, že $1\leq p_1<p_2\leq \infty$ . Rozhodněte co je správně:
$L^{p_1}(1,\infty)\subset L^{p_2}(1,\infty)$ , $L^{p_1}(1,\infty)= L^{p_2}(1,\infty)$ , $L^{p_2}(1,\infty)\subset L^{p_1}(1,\infty)$ . Zdůvodněte.

tedy se ptáme konečnost kterého prostoru implikuje konečnost druhého. Cesta patrně povede přes Hölderovu nerovnost.
Našel jsem důkaz pro omezené množiny, ale pro neomezené mi to vyšlo takto(a z toho nic nevidim):

Obrázek: zde.

Díky za případné rady.

Stýv · 25. 08. 2010 19:28

neplatí ani jedno. hledej jedoduchý protipříklady;)

Pavel Brožek · 25. 08. 2010 20:14

↑ Asinkan:

Asi jsi chtěl psát o konečnosti integrálů, ne prostorů.

Také toho na tom papíru moc nevidím :-) (je to špatně čitelné, luštit se mi to nechce)

Nápověda Zobrazit/skrýt!

Asinkan

↑ BrozekP:
Tak třeba funkce $\frac{1}{\sqrt{x}} \in L^4(1,\infty)$ ale $\notin L^2(1,\infty)$ . Tedy $L^4$ neni podmnožina $L^2$ . Opačný příklad mě ale nenapadá.

Pavel Brožek · 25. 08. 2010 22:31

↑ Asinkan:

V prvním příspěvku máš interval $(1,\infty)$ , předpokládám, že ses jen přepsal, protože bys jinak neměl pravdu ( $\frac{1}{\sqrt{x}} \notin L^4(0,\infty)$ ).

V tomto případě bylo podstatné chování v okolí nekonečna. V opačném případě nám pomůže chování funkce $x^{\alpha}$ v okolí nuly. Musí se ta funkce ale trochu upravit, aby byla opravdu protipříkladem.

Asinkan

↑ BrozekP:
JJ upsal jsem se. Opravím. Musí se poupravit? To není dobrý příklad?

Pavel Brožek · 26. 08. 2010 07:30

↑ Asinkan:

Když budeš hledat funkci, která je z $L^2(1,\infty)$ a není z $L^4(1,\infty)$ , nepůjde použít přímo funkce $x^\alpha$ . Budeme potřebovat její chování v okolí nuly, kolem té se ale neintegruje. Musíme si proto funkci "posunout". Také nás v tomto případě nebude zajímat chování na nekonečnu, takže ji musíme oseknout :-).

Asinkan · 26. 08. 2010 23:02

↑ BrozekP:

Nějak mi uchází jak uříznout to nekonečno:-( Ten druhej protipříklad nějak nedávam.

Pavel Brožek · 26. 08. 2010 23:05

↑ Asinkan:

Funkce $(x-1)^{-\frac14}$ pro $x\in(1,2)$ a 0 jinde by měla být z $L^2(1,\infty)$ a přitom nepatří do $L^4(1,\infty)$ .

Asinkan · 26. 08. 2010 23:10

↑ BrozekP:

Mocikeré díky. :-)

Pavel Brožek · 26. 08. 2010 23:13

Není zač. Hlavně, jestli je jasné, jak takové protipříklady tvořit. Takové funkce samozřejmě úplně nehádám, ale tvořím je hlavně podle toho, co od nich požaduji :-).

Asinkan · 26. 08. 2010 23:46

↑ BrozekP:
JJ, já se pořád nemůžu odpoutat od toho, že funkce má být pěkně hladká, spojitá skoro všude... :-)

Matematické Fórum

#1 25. 08. 2010 19:13 — Editoval Asinkan (25. 08. 2010 19:15)

Prostor a podprostor

#2 25. 08. 2010 19:28

Re: Prostor a podprostor

#3 25. 08. 2010 20:14

Re: Prostor a podprostor

#4 25. 08. 2010 22:24 — Editoval Asinkan (25. 08. 2010 22:53)

Re: Prostor a podprostor

#5 25. 08. 2010 22:31

Re: Prostor a podprostor

#6 25. 08. 2010 22:53 — Editoval Asinkan (25. 08. 2010 22:57)

Re: Prostor a podprostor

#7 26. 08. 2010 07:30

Re: Prostor a podprostor

#8 26. 08. 2010 23:02

Re: Prostor a podprostor

#9 26. 08. 2010 23:05

Re: Prostor a podprostor

#10 26. 08. 2010 23:10

Re: Prostor a podprostor

#11 26. 08. 2010 23:13

Re: Prostor a podprostor

#12 26. 08. 2010 23:46

Re: Prostor a podprostor

Zápatí