Matematické Fórum

Fyzikální olympiáda: http://fo.cuni.cz/
Logická olympiáda: http://www.logickaolympiada.cz/
Olympiáda z programování: http://mo.mff.cuni.cz/p/ (u nás spadá pod MO)

o programovaní a algoritmizácií
http://ksp.mff.cuni.cz

MathRace je letos otevřena nejen pro středoškoláky, ale i pro  ostatní týmy (ale středoškoláci mohou vyhrát věcné ceny).

Další zdroj úloh (ne úplně návodných, ale tematicky blízkých) pro Olympioniky: http://kondr.ic.cz/liga -- zatím první kolo, brzy přibudou další :) Soutěž je pouze pro svěřence našeho ústavu.

Neviem kam to mám dať ale na tejto stránke je veľa dorbých vzorovo vypracovaných príkladov z matematiky a fyziky pre stredné školy:

www.priklady.eu

Do MathRace 2011 zbývají necelé čtyři týdny -- pokud máte zájem soutěžit, zaregistrujte svůj tým co nejdřív na http://mathrace.jdem.cz.

Úlohy domácího kola 63. ročníku Matematické olympiády pro žáky středních škol



Kategorie A

1.
Číslo je součinem tří (ne nutně různých) prvočísel. Zvětšíme-li každé z nich o 1, zvětší se jejich součin o 963. Určete původní číslo .
(Pavel Novotný)

2.
Pro libovolná kladná reálná čísla dokažte nerovnost
,
kde
.
Zjistěte rovněž, kdy v dokázané nerovnosti nastane rovnost.
(Jaroslav Švrček, Jaromír Šimša)

3.
Označme střed kružnice vepsané danému trojúhelníku . Předpokládejme, že kolmice na přímku vedená bodem protne přímku v bodě . Dokažte, že kružnice opsaná trojúhelníku protne úsečku ve vnitřním bodě a že přímky a jsou navzájem kolmé.
(Peter Novotný)

4.
Označme největšího lichého dělitele čísla . Určete hodnotu součtu
.
(Michal „Kenny“ Rolínek)

5.
Kolika různými způsoby můžeme vydláždit plochu dlaždicemi , lze-li je pokládat v obou navzájem kolmých směrech?
(Stanislava Sojáková)

6.
V rovině daného trojúhelníku určete všechny body, jejichž obrazy v osových souměrnostech podle přímek tvoří vrcholy rovnostranného trojúhelníku.
(Pavel Calábek)


Kategorie B

1.
Každému vrcholu pravidelného 63úhelníku přiřadíme jedno z čísel 1, nebo -1. Ke každé jeho straně připíšeme součin čísel v jejích vrcholech a všechna čísla u jednotlivých stran sečteme. Najděte nejmenší možnou nezápornou hodnotu takového součtu.
(Pavel Calábek)

2.
Určete všechny dvojice reálných čísel, které vyhovují nerovnici
.
(Jaroslav Švrček)

3.
Nechť je libovolný vnitřní bod strany trojúhelníku . Na polopřímkách a zvolme po řadě body a tak, aby platilo a . Dokažte, že body a střed kružnice vepsané trojúhelníku leží na téže kružnici.
(Jaroslav Švrček)

4.
Dana napsala na papír trojmístné číslo, které při dělení sedmi dává zbytek 2. Přehozením prvních dvou číslic vzniklo trojmístné číslo, které při dělení sedmi dává zbytek 3. Číslo vzniklé přehozením posledních dvou číslic původního čísla dává při dělení sedmi zbytek 5. Jaký zbytek při dělení sedmi bude mít číslo, které vznikne přehozením první a poslední číslice Danina čísla?
(Pavel Novotný)

5.
V rovině jsou dány body tak, že úhel je tupý. Sestrojte trojúhelník , ve kterém jsou po řadě body dotyku strany s kružnicí vepsanou a připsanou.
(Šárka Gergelitsová)

6.
Najděte nejmenší reálné číslo takové, že tyč o délce 1 lze rozlomit na čtyři části délky nejvýše tak, aby z žádných tří těchto částí nešlo sestrojit trojúhelník.
(Ján Mazák)


Kategorie C

1.
Určete, jaké nejmenší hodnoty může nabývat výraz , splňují-li reálná čísla dvojici podmínek

(Jaroslav Švrček)

2.
V rovině jsou dány body neležící na přímce. Sestrojte trojúhelník tak, aby byla pata jeho výšky z vrcholu a bod dotyku strany s kružnicí vepsanou.
(Pavel Leischner)

3.
Číslo je součinem tří různých prvočísel. Zvětšíme-li dvě menší z nich o 1 a největší ponecháme nezměněno, zvětší se jejich součin o . Určete číslo .
(Pavel Novotný)

4.
Ve čtverci označme střed strany a střed strany . Úsečky a se protínají v bodě a rozdělují čtverec na dva trojúhelníky a dva čtyřúhelníky. Vypočtěte jejich obsahy, jestliže úsečka má délku 1 cm.
(Leo Boček)

5.
Dokažte, že pro každé liché přirozené číslo je součet dělitelný číslem 96.
(Jaromír Šimša)

6.
Šachového turnaje se zúčastnilo 8 hráčů a každý s každým odehrál jednu partii. Za vítězství získal hráč 1 bod, za remízu půl bodu, za prohru žádný bod. Na konci turnaje měli všichni účastníci různé počty bodů. Hráč, který skončil na 2. místě, získal stejný počet bodů, jako poslední čtyři dohromady. Určete výsledek partie mezi 4. a 6. hráčem v celkovém pořadí.
(Vojtěch Bálint)

↑ julinka-bublinka:

Zdravím a děkuji za připomenutí další olympiády - přidám kolegovi Kondrovi do úvodního příspěvku. Téma je spíš pro upozornění na olympiády a také na pravidlo ohledně olympiád. Pro Tebe bude přehlednější si založit vlastní téma (a také je to dle pravidel) v sekci "Zajímavých úloh pro SŠ" (jinak v odkazu najdeš řešení této úlohy v roce 2008)

↑ Radovan00000605:

Zdravím, jednu odpověď již máš tady, opět jsi ale OT, založ si, prosím, vlastní téma. Děkuji.

↑ Radovan00000605:

Zdravím, pokud chceš prodiskutovat úlohu starší olympiády, nebo jinou starší soutěžní úlohu, potom si založ téma v sekci Zajímavých např. pro SŠ, nebo si zvol jinou vhodnou sekci pro vlastní téma viz ↑ můj předchozí příspěvek:. Děkuji.

↑ petrik_ch:

Zdravím a děkuji za odkaz,

ale opět řeknu, že za Tvoji stránkou je určitě hodně práce, bohužel se vyskytuji chyby (příklad), ale to se dá popř. opravit. Horší je, že při řešení zcela vynecháváš rozbor úloh (což je u olympiád hodně podstatné), chybí popis zavedených proměnných, postup řešení není přiměřený třídě, pro kterou je úloha zadaná, nebo postup zcela chybí (2+2=4 asi není postup) apod. Určitě rozbor řešení dostatečně pokrývají materiály samotné MO a dalších organizátorů, popř. snad jen ponechat zadání, odkaz na oficiální stránku a možnost diskuse v komentářích. Jinak to na kvalitě spíš ubírá, než přidává. Přeji zdar.

↑ Janca237:

Zdravím, technika bude shodná (úhel máš zadaný sdělením, že trojúhelník je pravoúhlý) Odkaz, podrobnější vysvětlení je v tématu (těchto konstrukcí je na fóru více, úloha je např. v Petákové - viz odkazy.

Je lepší si založit vlastní téma, nevkládat do cizích témat, děkuji.

↑ Anonymjsemjá:Ten zapis sa podoba dvom bezne pouzivanym - jeden je zlomok , druhy je kombinacne cislo . Lenze .