Matematické Fórum

greendj · 28. 06. 2010 09:44

Ahoj, potřebovala bych poradit, jak vyřešit tuto kvadratickou formu, případně návod jak dosáhnout výsledku, díky moc

$k(x1,x2,x3]= -3x1^2 - 4x2^2 - 2x3^2 + 6x1x2 + 2x1x3 - 4x2x3$

a tady mám vypočítat inverzní funkci k fci $f(x)=10^(x-1)$
+ určit definiční obor a obor hodnot původní a inverzní fce

vím že inverzní fce je fce opačná k původní fci ale to je tak asi všechno =(, každopádně díky moc za pomoc

lukaszh · 28. 06. 2010 10:15

↑ greendj:

Kvadratická forma sa nedá "riešiť". Alebo napíš, čo potrebuješ riešiť. Inverzná funkcia, viď Stredná škola, alebo hľadať "inverzní funkce".

http://forum.matweb.cz/viewtopic.php?id=14462

greendj

↑ lukaszh:Jo máš pravdu, v zadání vlastně stálo stanovte typ kvadratické formy, takže zřejmě rozepsání do matice a s tim si právě nevim rady...

A u druhého příkladu mi vyšel výsledek: y = log10x + 1

definiční obor a obor hodnot : všechna reálná čísla

Správně?

lukaszh · 28. 06. 2010 10:59

↑ greendj:

Dám ti návod, ako vytvoriť maticu, aby to už všetkým bolo jasné. Z istých dôvodov je lepšie, keď vytvárame symetrickú maticu. To znamená, že hľadáme maticu A tak, aby

$k(x_1,x_2,x_3)=\begin{bmatrix}x_1&x_2&x_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\nla_{21}&a_{22}&a_{23}\nla_{31}&a_{32}&a_{33}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\nlx_2\nlx_3\end{bmatrix}$

Z tvojej kvadatickej formy, teraz vyberieš členy, ktoré obsahujú druhú mocninu. To sú

$\boxed{-3x_1^2}\;\boxed{-4x_2^2}\;\boxed{-2x_3^2}$

Koeficienty, ktoré stoja pri premenných umiestnime na diagonálu, t.j.

$\begin{bmatrix}\boxed{-3}&a_{12}&a_{13}\nla_{21}&\boxed{-4}&a_{23}\nla_{31}&a_{32}&\boxed{-2}\end{bmatrix}$

Teraz vezmeme "zmiešané" členy

$\boxed{6x_1x_2}\;\boxed{2x_1x_3}\;\boxed{-4x_2x_3}$

Matica je symetrická, a teda nám stačí vyplniť horný trojuholník

$\begin{bmatrix}\times&a_{12}&a_{13}\nl\times&\times&a_{23}\nl\times&\times&\times\end{bmatrix}$

To isté bude aj v dolnom trojuholníku. Preto rozdelíme koeficienty pri zmiešaných členoch na dva sčítance

$\boxed{(3+3)x_1x_2}\;\boxed{(1+1)x_1x_3}\;\boxed{(-2-2)x_2x_3}$

A tieto polovičky zapíšeme do horného trojuholníka, podľa koeficientov. Koeficient pri $x_{i}x_{j}$ zapíšeme na miesto $a_{ij}$

$\begin{bmatrix}-3&3&1\nla_{21}&-4&-2\nla_{31}&a_{32}&-2\end{bmatrix}$

To isté zapíšeme symetricky do dolného trojuholníka

$\begin{bmatrix}-3&3&1\nl3&-4&-2\nl1&-2&-2\end{bmatrix}$

To, že matica skutočne vyhovuje sa môžeš presvedčiť roznásobením

$k(x_1,x_2,x_3)=\begin{bmatrix}x_1&x_2&x_3\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-3&3&1\nl3&-4&-2\nl1&-2&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\nlx_2\nlx_3\end{bmatrix}$

kaja(z_hajovny) · 28. 06. 2010 11:07

greendj napsal(a):
↑ lukaszh:Jo máš pravdu, v zadání vlastně stálo stanovte typ kvadratické formy, takže zřejmě rozepsání do matice a s tim si právě nevim rady...

Nemelo by to spis znamenat urcit typ formy? Tj. vypocet vlastnich cisel apod? Jinak by to byl vypocet pro "zakladni skolu" (myslim co se tyka obtiznosti vypoctu). Lukasz to krasne vysvetlil, ale nejtezsi operace na tom je deleni dvema a nejak se mi nechce zdat, ze by to byl hotovy priklad :)

greendj · 28. 06. 2010 11:20

↑ lukaszh:Jé děkuju moc, díky tobě jsem to konečně pochopila =D

greendj · 28. 06. 2010 11:22

A co se týká té kvadratické formy, tak to jsem spočitala přes determinant a výsledek mi vyšel: -26 což je záporný determinant , takže forma by měla být INDEFINITNÍ, mám to správně?

Matematik21

↑ lukaszh: - A jak by to prosím vypadalo, kdyby se jednalo o určení typu formy? Myslím u toho příkladu, který tu teď byl řešen. Předem děkuji za odpověď.

jelena · 28. 08. 2010 22:32

Zdravím,

nalezeno při úklidu:

↑ greendj: determinant mi nevyšel (-26), je možné ověřit pomocí nástrojů zde uvedených. Navíc si myslím, že D nestačí pro ověření typu kvadratické formy.

↑ Matematik21: použivala jsem pro ověření typu Sylvestrovo kritérium a vyšla mi indefinitní.

Kolega Lukáš snad překontroluje mé nápady.

lukaszh napsal(a):
aby to už všetkým bolo jasné

Potom je třeba navrhnout na umístění do Vzorových nebo na MatWiki. Tak kam? Děkuji :-)

lukaszh · 29. 08. 2010 23:19

↑ jelena:

Ja by som bol za záporne definitnú. Poprosím ešte raz o kontrolu :-)

jelena · 30. 08. 2010 00:05

↑ lukaszh:

Zdravím (tradičně po úklidu žehlicího prkna) a děkuji, je to tak - je negativně definitní.

kaja(z_hajovny) napsal(a):
Lukasz to krasne vysvetlil, ale nejtezsi operace na tom je deleni dvema...

Ano, vysvětlil krásně, ale je zde ještě těžší operace, než dělení dvěma, to je násobení (-3)*(-4). Neb tu mám na papírku výsledek:

D_2=(-3)*(-4)-3*3=-21.

Ale úklid autiček mi docela jde.

Děkuji :-)

Matematické Fórum

#1 28. 06. 2010 09:44

Kvadratická forma

#2 28. 06. 2010 10:15

Re: Kvadratická forma

#3 28. 06. 2010 10:26 — Editoval greendj (28. 06. 2010 11:00)

Re: Kvadratická forma

#4 28. 06. 2010 10:59

Re: Kvadratická forma

#5 28. 06. 2010 11:07

Re: Kvadratická forma

greendj napsal(a):

#6 28. 06. 2010 11:20

Re: Kvadratická forma

#7 28. 06. 2010 11:22

Re: Kvadratická forma

#8 25. 08. 2010 14:46 — Editoval Matematik21 (25. 08. 2010 14:47)

Re: Kvadratická forma

#9 28. 08. 2010 22:32

Re: Kvadratická forma

lukaszh napsal(a):

#10 29. 08. 2010 23:19

Re: Kvadratická forma

#11 30. 08. 2010 00:05

Re: Kvadratická forma

kaja(z_hajovny) napsal(a):

Zápatí