Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 10. 01. 2010 22:17 — Editoval BrozekP (05. 09. 2010 23:25)

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Campbell-Baker-Hausdorffova formule – speciální případ

Tuto úlohu nám zadal cvičící z kvantové mechaniky. Termín odevzdání je dnešek, ale i kdyby se tu řešení do půlnoci objevilo, tak ho nebudu vydávat za své, slibuji :-). Protože úlohu považuji za zajímavou a myslím, že pro některé členy fóra může být výzvou, tak jsem ji zařadil do zajímavých úloh.

Hranaté závorky jsou komutátory, tj. např. $[A,B]=AB-BA$. A, B a C jsou čtvercové matice takové, aby vše mělo dobrý smysl (sám moc nevím, co všechno bych po nich měl požadovat, možná už ani není nutné nic dodávat). Exponenciela matice je definována řadou, tedy

$\mathrm{e}^{A}=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^n}{n!}$

Zadání:

Nechť $[A,B]=C$ a $[A,C]=[B,C]=0$. Ukažte, že

$\mathrm{e}^{A}\mathrm{e}^B=\mathrm{e}^{A+B}\mathrm{e}^?=\mathrm{e}^?\mathrm{e}^{A+B}=\mathrm{e}^{A+B+?}$

a nalezněte, co patří místo otazníčku.

Offline

 

#2 06. 09. 2010 14:04

Pavel Brožek
Místo: Praha
Příspěvky: 5694
Škola: Informatika na MFF UK
Pozice: Student
Reputace:   194 
 

Re: Campbell-Baker-Hausdorffova formule – speciální případ

Offline

 

#3 07. 09. 2010 11:25

jarrro
Příspěvky: 5406
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: Campbell-Baker-Hausdorffova formule – speciální případ

platí to aj pre matice nad všeobecným poľom? (predpokladám,že$ \frac{1}{2}\equiv\left(1+1\right)^{-1}$,kde 1 je jednotka v poli)


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#4 07. 09. 2010 11:52

Olin
Místo: Brno / Praha
Příspěvky: 2823
Reputace:   81 
 

Re: Campbell-Baker-Hausdorffova formule – speciální případ

↑ jarrro:
Jak bys chtěl nad konečným tělesem definovat exponenciálu matice?


Matematika = královna věd. Analýza = královna matematiky. (Teorie množin = bohatství matematiky.)
MKS Náboj iKS

Offline

 

#5 07. 09. 2010 12:26

jarrro
Příspěvky: 5406
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: Campbell-Baker-Hausdorffova formule – speciální případ

↑ Olin:tak ako nad reálnymi číslami a$n!\equiv\left(1\right)\cdot\left(1+1\right)\cdot\left(1+1+1\right)\cdot\cdots\cdot\left(1+\cdots+1\right)$v poslednom činiteli je n sčítancov


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#6 07. 09. 2010 12:35 — Editoval Olin (07. 09. 2010 12:38)

Olin
Místo: Brno / Praha
Příspěvky: 2823
Reputace:   81 
 

Re: Campbell-Baker-Hausdorffova formule – speciální případ

↑ jarrro:
Tím pádem bude v konečném tělese (alespoň v $\mathbb{Z}_p$) od nějakého $n_0$ dál platit $n! = 0$, což nemá multiplikativní invers, který v exponenciále potřebuješ.

Řečeno zajímavěji: Má-li těleso nenulovou charakteristiku, pak je její faktoriál v tomto tělese roven nule.


Matematika = královna věd. Analýza = královna matematiky. (Teorie množin = bohatství matematiky.)
MKS Náboj iKS

Offline

 

#7 07. 09. 2010 12:39

jarrro
Příspěvky: 5406
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: Campbell-Baker-Hausdorffova formule – speciální případ

↑ Olin:aha fakt to ma nenapadlo tak teda len pre polia charakteristiky 0 sa to dá zaviesť aj to je ešte dosť všeobecné


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#8 07. 09. 2010 12:49

Olin
Místo: Brno / Praha
Příspěvky: 2823
Reputace:   81 
 

Re: Campbell-Baker-Hausdorffova formule – speciální případ

↑ jarrro:
Stále mám pochybnosti. Kolik bude v tělese racionálních čísel $\mathrm{e}^1$?


Matematika = královna věd. Analýza = královna matematiky. (Teorie množin = bohatství matematiky.)
MKS Náboj iKS

Offline

 

#9 07. 09. 2010 18:20 — Editoval jarrro (07. 09. 2010 18:21)

jarrro
Příspěvky: 5406
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: Campbell-Baker-Hausdorffova formule – speciální případ

↑ Olin:1 je číslo nie matica ja vravím o exponenciále matíc teda $e^{\mathbb{I}}$bude v maticiach nad poľom racionálnych čísel to isté ako nad poľom reálnych čísel I je jednotková matica nie jednotka v  danom poli,alebo som zas mimo?


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#10 07. 09. 2010 18:45 — Editoval Olin (07. 09. 2010 18:45)

Olin
Místo: Brno / Praha
Příspěvky: 2823
Reputace:   81 
 

Re: Campbell-Baker-Hausdorffova formule – speciální případ

Můžeš brát moji jedničku jako matici 1x1 :-) Ale je to jedno, stejně dobře můžeš exponencializovat jednotkovou čtvercovou matici libovolné velikosti. Jinak já měl pocit, že $\mathrm{e}^{I} = \mathrm{e} \cdot {I}$ a v tělese racionálních čísel jaksik éčko nenacházím…

Jinak navrhuji tuto diskusi přesunout, ať nezaneřáďujeme toto téma věnované jinému problému.


Matematika = královna věd. Analýza = královna matematiky. (Teorie množin = bohatství matematiky.)
MKS Náboj iKS

Offline

 

#11 07. 09. 2010 18:46 — Editoval Stýv (07. 09. 2010 18:54)

Stýv
Vrchní cenzor
Příspěvky: 5637
Reputace:   214 
Web
 

Re: Campbell-Baker-Hausdorffova formule – speciální případ

↑ jarrro: jenomže e^I={{e, 0}, {0, e}}, což není matice nad racionálními čísly

Offline

 

#12 07. 09. 2010 18:51

jarrro
Příspěvky: 5406
Škola: UMB BB Matematická analýza
Reputace:   303 
Web
 

Re: Campbell-Baker-Hausdorffova formule – speciální případ

↑ Olin:aha fakt bože ja som idiot dúfam,že predpoklad na to pole,aby bolo okrem charakteristiky nula aj úplné(limita postupnosti jeho prvkov je jeho prvok)už bude stačiť ale ako sa poznám zas nie


MATH IS THE BEST!!!

Offline

 

#13 07. 09. 2010 22:26

Olin
Místo: Brno / Praha
Příspěvky: 2823
Reputace:   81 
 

Re: Campbell-Baker-Hausdorffova formule – speciální případ

On asi krapet problém je s tím, že exponenciála je definována pomocí řady, tedy limity, což spíše než algebraické vlastnosti vyžaduje nějaké topologické.


Matematika = královna věd. Analýza = královna matematiky. (Teorie množin = bohatství matematiky.)
MKS Náboj iKS

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson