Matematické Fórum

utopiakiller · 07. 09. 2010 16:35

Určete bod D tak, aby obrazec ABCD byl rovnoběžník, je-li dáno A[1,-2] B[5,1] C[-3,4], potřeboval bych s tim pomoct, ale zatim jsme v této oblasti matematiky brali jen souřadný systém, vzdálenost dvou bodů a střed úsečky, jinak by byl výpočet moc podezřelí :-D.
Předem díky za odpověď.

jelena · 07. 09. 2010 16:59 — Editoval jelena (07. 09. 2010 22:43)

↑ utopiakiller:

Zdravím,

asi se budeš muset vystačit s faktem, že protější (rovnoběžné) strany rovnoběžníku mají stejné délky.

Označit souřadnice D [x, y], sestavit soustavu rovnic. Případně se ozví.

EDIT: postup doporučený kolegou Kondrem (v příspěvku 5) je více účelný, jelikož je méně operací, děkuji.

utopiakiller · 07. 09. 2010 17:06

↑ jelena:
já právě chci aby mi tu souřadnici D tady někdo vypočítal a nejlépe napsal postup, páč si s tím vubec nevim rady.

jelena · 07. 09. 2010 17:10

↑ utopiakiller:

Tak řekl jsi, že vzdálenost bodů umiš, tedy napíš, prosím, vzdalenost bodu A a D, B a C, A a B, C a D. Stejné vzdálenosti dáme do rovnic a podom se pokusíme rovnice vyřešit.

Kondr · 07. 09. 2010 17:36

V rovnoběžníku středy úhlopříček splývají. Najdeme tedy střed úsečky AC. Víme, že je středem BD. Bod D proto taky není problém najít.

Cheop · 08. 09. 2010 07:28 — Editoval Cheop (08. 09. 2010 14:44)

↑ utopiakiller:
Způsob výpočtu dle ↑ Kondra:
$S_{AC}=S_{BD}$
$S_{AC}=\frac{A+C}{2}$ zvlášť pro x-ovou a zvláštˇpro y-ovou souřadnici středu tedy:
$S_x=\frac{1-3}{2}=-1\nlS_y=\frac{-2+4}{2}=1$ do čitatele dosadím součet x-ových resp. y-ových souřadnic bodů A a C
$S_{AC}=(-1;\,1)$
Ty samé souřadnice musí mít i střed úhlopříčky BD tedy
musí platit pro x- ovou souřadnici bodu D:
$\frac{x+5}{2}=-1\nlD_x=-7$
pro y-ovou souřadnici bodu D:
$\frac{y+1}{2}=1\nlD_y=1$
Bod D má souřadnice:
$D=(-7;\,1)$
Obrázek:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Způsob výpočtu dle ↑ Jeleny:
a) Vzdálenost AB = CD
b) Vzdálenost BC = AD
Vzdálenost AB
$\|AB|=sqrt{(5-1)^2+(1+2)^2}=5$
Pro vzdálenost CD musí platit:
1) $|CD|=\sqrt{(x+3)^2+(y-4)^2}=5\nlx^2+y^2+6x-8y=0$
Vzdálenost BC
$\|BC|=sqrt{(5+3)^2+(1-4)^2}=\sqrt{73}$
Pro vzdálenost AD musí platit:
2) $|AD|=\sqrt{(x-1)^2+(y+2)^2}=\sqrt{73}\nlx^2+y^2-2x+4y=68$
Máme 2 rovnice 1) a 2) odečtením 2) od 1) dostaneme
$x^2+y^2+6x-8y=0\nlx^2+y^2-2x+4y=68\nl2x-3y=-17\nly=\frac{2x+17}{3}$ - dosadíme do 1)
$x^2+\left(\frac{2x+17}{3}\right)^2+6x-\frac{8(2x+17)}{3}=0$ - úpravou dospějeme k rovnici:
$13x^2+74x-119=0\nlx_1=\frac{17}{13}\quad\rm{ne}\nlx_2=-7$
Dopočítáme y-ovou souřadnici bodu D
$y=\frac{2x+17}{3}\nly=\frac{2\cdot(-7)+17}{3}\nly=1$
Bod D má souřadnice:
$D=(-7;\,1)$
Obrázek

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

PS:
Čtyřúhelník ABD_1C není rovnoběžník proto bod $D_1=\left(\frac{17}{13}\,;\,\frac{85}{13}\right)$ není řešením úlohy.

Způsob výpočtu dle ↑ Olina:
Protože se jedná o rovnoběžník pak musí platit:
$\vec{AB}=\vec{ DC}$
$\vec{AB}=((5-1);\,(1+2))=(4;\,3)$
Pro souřadnice bodu D(x; y) platí:
$-3-x=4\nlx=-7\nl4-y=3\nly=1\nlD=(-7;\,1)$
Obrázek

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

PPS: I když nevím zda se vektory probírají před "délkou úsečky" a "středem úsečky"

jelena · 08. 09. 2010 12:38

↑ Cheop:

Zdravím srdečně a děkuji za dokonalou realizaci nápadů našeho návrhového tymu.

U mého návrhu jsi měl rovnou udělat červěné "Zamítnuto" s odůvodněním, že idea s takovým počtem operací nebude realizována - idea je totiž zcela nepodařena.

Ještě návrh bych měla - jelikož kolega uvádí, že umí systém souřadnic, tak by stačilo dokreslit do pravoúhlých trojuhelníků a najit chybějící souřadníce jako rozdíl odpovídajících souřadnic zadanách bodů. Bylo by to snad ještě na min operací, než návrh kolegy Kondra, ale tento návrh zavrhnu sama. Jelikož mám zásadu, že v analytické geometrii se nemá kreslit, ani si obrázky představovat. A jak jse o zásady...

Pravda je taková, že bych tak dokonalý obrázek, jak svedete vy, nikdy nesvedu.

↑ Kondr: Velmi bych přivitala, pokud mám v tématu příspěvek, tak aby byl vyhodnocen patřičným způsobem - tedy, že je to nesmysl. Ovšem předpokládám, že zas až tolik příspěvků bych již neměla mít, právě připravuji anexi jistého území pro umístění Domova Veteránu. Zatím to vidím na nějaký stan nebo přístřešek.

Ale takové shody - jak jsem teď psala tento příspěvek, došla kolegyně, zda chci mít informace o stavce - dostala jsem takový šok... Ne, stavku určitě ne... ani informace.

Děkuji a mějte se.

Olin · 08. 09. 2010 12:55

S dovolením se pokusím realisovat to nejkratší řešení.

Jelikož jde o rovnoběžník, platí $\vec{AB} = \vec{DC}$ . Proto $D = C - \vec{DC} = C - \vec{AB} = [-3,\, 4] - (4,\, 3) = [-7,\, 1]$ .

Cheop · 08. 09. 2010 14:52 — Editoval Cheop (08. 09. 2010 14:55)

↑ utopiakiller:
Způsob výpočtu dle ↑ Olina:
Protože se jedná o rovnoběžník pak musí platit:
$\vec{AB}=\vec{ DC}$
$\vec{AB}=((5-1);\,(1+2))=(4;\,3)$
$\vec{ DC}=((-3-x);\,(4-y))$
Pro souřadnice bodu D(x; y) platí:
$-3-x=4\nlx=-7\nl4-y=3\nly=1\nlD=(-7;\,1)$
Obrázek

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

PPS: I když nevím zda se vektory probírají před "délkou úsečky" a "středem úsečky"

Rumburak

↑ utopiakiller: Jiné řešení:

$\vec{BD} \,=\, \vec{BA}\,+\,\vec{BC}$ (sčítání vektorů bychom měli znát z fyziky jako "skládání sil" a pod.), odtud $D \,=\, B \,+\,(A-B) \,+\, (C-B)$ ,
což se snadno upraví na $D \,=\, A \,+\, (C-B)$ nebo $D \,=\, C \,+\, (A-B)$ , viz též ↑ Olin: .