Matematické Fórum

Inferi · 27. 09. 2010 13:17 — Editoval Inferi (27. 09. 2010 13:17)

Ahoj, narazil jsem na příklad a matiku jsem už delší dobu neměl, ale celkem mě zajímá, jak se to řeší, protože už jsem to zapoměl. Zadání je jednoduché:

Vyřešte:

$\sum^{n}_{k = 1}(-1)^{k}\cdot k$

halogan · 27. 09. 2010 13:27

Ač nevím, co znamená "vyrešte", budu hádat, že se po vás chce spočítat součet $n$ členů. Úplně bez znalosti matematických postupů na to můžeš jít, prostě selským rozumem.

Vypiš si prvních pár členů:

-1, 2, -3, 4, -5, 6, -7, 8, ...

A pod každý člen si vypiš částečný součet předchozích členů (+ ten aktuální):

-1, 1, -2, 2, -3, 3, -4, 4, ...

Takže jaký je součet $n$ členů?

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Marian · 27. 09. 2010 14:20

↑ Inferi:↑ halogan:

Počítalo se již zde.

Rumburak

Je zde možnost sečíst zvlášť členy se sudým indexem:

$S_n \,:=\,\, \sum_{\,\,\,\,\,j\in\mathbb{N} \nl 1\le 2j \le n}\,(-1)^{2j}\cdot 2j \,\,= \sum_{j=1}^{\[\frac{n}{2}\]}2j\,\,=\,\, 2\cdot \sum_{j=1}^{\[\frac{n}{2}\]}j = \[\frac{n}{2}\]$\[\frac{n}{2}\] + 1$$ ,

zvlášť členy s lichým indexem:

$L_n \,:=\,\, \sum_{\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,j\in\mathbb{N} \nl 1\le 2j - 1\le n}\,(-1)^{2j-1}\cdot (2j-1) \,=\, -\,\sum_{j = 1}^{\[\frac{n+1}{2}\]} (2j-1) \,=-\[\frac{n+1}{2}\]^2$ ,

takže celkový součet pak bude

$\sum^{n}_{k = 1}(-1)^{k}\cdot k = S_n + L_n$ .

Symbol [x] zde značí největší celé číslo n, pro které je n <= x .
Využili jsme linearitu summy a poznatky o summaci aritmetické posloupnosti.
Výsledek bude jistě možno vyjádřit i v jiném tvaru.

Jednu z obecnějších metod pro summace některých posloupností podává teorie tzv. diferenčních rovnic.

Pavel · 27. 09. 2010 17:31 — Editoval Pavel (27. 09. 2010 17:32)

↑ Inferi:

Součet lze určit ještě elementárněji.

1. Nechť $n$ je sudé. Pak

$\Large s_n=\qquad-\qquad\qquad 1\qquad\qquad+\qquad\qquad 2\qquad\qquad-\qquad\qquad 3\qquad\qquad+\dots-(n-3)+(n-2)-(n-1)+n\nl s_n=n-(n-1)+(n-2)-(n-3)+\dots-\qquad\qquad 3\qquad\qquad+\qquad\qquad 2\qquad\qquad-\qquad\qquad 1$

Obě identity sečteme

$\Large 2s_n=\underbrace{n-n+n-n+\dots-n+n-n+n}_{\text{n+1 clenu}}=n\qquad\Rightarrow\qquad s_n=\frac{n}{2}$

2. Nechť $n$ je liché. Pak

$\Large s_n=-1+\qquad\qquad 2\qquad\qquad-\qquad\qquad 3\qquad\qquad+\dots-(n-2)+(n-1)-n\nl s_n=-n+(n-1)-(n-2)+\dots-\qquad\qquad 3\qquad\qquad+\qquad\qquad 2\qquad\qquad-1$

Obě identity sečteme

$\Large 2s_n=\underbrace{-(n+1)+(n+1)-(n+1)+\dots-(n+1)+(n+1)-(n+1)}_{\text{n clenu}}=-(n+1)\qquad\Rightarrow\qquad s_n=-\frac{n+1}{2}$

Matematické Fórum

#1 27. 09. 2010 13:17 — Editoval Inferi (27. 09. 2010 13:17)

Počítání sum

#2 27. 09. 2010 13:27

Re: Počítání sum

#3 27. 09. 2010 14:20

Re: Počítání sum

#4 27. 09. 2010 14:31 — Editoval Rumburak (27. 09. 2010 15:10)

Re: Počítání sum

#5 27. 09. 2010 17:31 — Editoval Pavel (27. 09. 2010 17:32)

Re: Počítání sum

Zápatí