Matematické Fórum

Nevíte-li si rady s jakýmkoliv matematickým problémem, toto místo je pro vás jako dělané.

Nástěnka
22. 8. 2021 (L) Přecházíme zpět na doménu forum.matweb.cz!
04.11.2016 (Jel.) Čtete, prosím, před vložení dotazu, děkuji!
23.10.2013 (Jel.) Zkuste před zadáním dotazu použít některý z online-nástrojů, konzultovat použití můžete v sekci CAS.

Nejste přihlášen(a). Přihlásit

#1 14. 04. 2009 15:47 — Editoval BrozekP (07. 10. 2010 21:35)

kubO
Zelenáč
Příspěvky: 3
Reputace:   
 

Kombinatorika

prosim ta ako rozoznam variacie od kombinacii a potom od toho ci su s opako alebo bez opakovania. NEchapem tomu ze kedy zalezi a kedy nezalezi na poradi. Dakujem dopredu za odpoved.

Offline

 

#2 14. 04. 2009 16:42

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Kombinatorika

Dnes už nemám kdy, ale zítra odpoledne se pokusím napsat k tomu příspěvek, pokud tak mezitím neučiní někdo jiný

Offline

 

#3 14. 04. 2009 16:58

kubO
Zelenáč
Příspěvky: 3
Reputace:   
 

Re: Kombinatorika

↑ Rumburak:plS brachO pomozte ja mam zajtra pisomku s toho a potrebujem co najrychlejsie rozoznat variacie od kombinacii. dakujem

Offline

 

#4 14. 04. 2009 18:21 — Editoval ttopi (14. 04. 2009 18:23)

ttopi
Místo: Ústí nad Labem
Příspěvky: 2146
Reputace:   
 

Re: Kombinatorika

↑ kubO:
Je to celkem jednoduché.

Variace - záleží na pořadí - například při frontě na maso, při různých losovacích soutěží, kde musíš uhádnout třeba pětičíslí, nebo když se volí třeba předseda, zástupce, náměstek atd...

Kombinace - nezáleží na pořadí - například tvorba volejbalového mužstva, sportka, atd...

S opakováním/bez opakování - už z názvu lze odvodit, čeho se to týká. S opakováním je třeba tvorba petičíslí z cifer 2;3;5 - je jasné, že se tam, musí nějaká opakovat. Nebo třeba když se tvoří telefonní čísla, nebo značky aut, mohou se tam číslice opakovat.

Jinak doporučuji Wiki a následující odkazy:
Kombinace
Variace
Permutace


oo^0 = 1

Offline

 

#5 14. 04. 2009 19:32

kubO
Zelenáč
Příspěvky: 3
Reputace:   
 

Re: Kombinatorika

↑ ttopi:dakujem ti moc za odpoved fakt som ti za nu vdacny. Dufam ze mi to zajtra vide. Drzte mi palce x) dakujem

Offline

 

#6 15. 04. 2009 09:19 — Editoval Rumburak (06. 10. 2010 11:14)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Kombinatorika

Přiznám se, že pojetí středoškolské kombinatoriky nepovažuji za příliš šťastné. Tak především: definice variací a kombinací se opírají o pojmy jako
"skupina", "zálaží/nezáleží na pořadí", "prvky se mohou/nemohou opakovat",  které do matematiky nepatří a mohou tak vyvolávat rozpaky a nejasnosti,
dále: dvojice pojmů  variace - variace s opakováním,  kombinace - kombinace s opakováním  nevystihují způsobem své konstrukce vztahy mezi
obecným a speciálním, které zde existují - ba právě naopak tyto vztahy zatemňují.
Pokud bych měl do těchto záležitostí co mluvit, postavil bych středoškolskou kombinatoriku poněkud jinak. Rád bych zde tuto alternativu předložil
k případné diskusi. Pojmy, které jsou míněny v "mém" pojetí, píši vždy v uvozovkách,  v závěru příspěvku  je pak dám do souvislostí se standardní terminologií -
standardní termíny budu psát velkými písmeny.


A. VARIACE (bez ohledu na případné opakování).  Nechť jsou dány  m-prvková množina M  a množina  K = {1,2,...,k} , již nazveme "množinou pozic".

I d e a : Určit variaci z prvků množiny M znamená určit  funkci (=zobrazení), která každé pozici z množiny K přiřadí některý prvek množiny M.

D e f i n i c e .  "Variací k-té třídy (nebo též: délky k) prvků množiny M (nebo též: z m prvků )" nazýváme funkci z množiny K do množiny M
(tj. D(f) = K, H(f) je částí M).   Je-li tato funkce prostá, hovoříme o "prosté variaci", případně o "variaci bez opakování".


B. KOMBINACE  (bez ohledu na případné opakování). Nechť je opět dána m-prvková množina M.

I d e a : Určit kombinaci prvků z množiny M znamená ke každému prvku množiny M určit počet jeho výskytů v této kombinaci.

D e f i n i c e . "Kombinací prvků množiny M (nebo též: z m prvků )" nazýváme funkci f z množiny M do množiny {0,1,2, ...} .  Dále nazýváme
- číslo f(x) "počtem výskytů prvku x v kombinaci f" ,
- číslo $\max\, \{f(x)\,|\,x \in M\}$ jejím "typem",
- číslo $\sum_{x \in M}^{}f(x)$ její třídou (nebo též "délkou").
O kombinacích "typu" 1 hovoříme jako o "kombinacích bez opakování".


Souvislosti se standardní terminologií (pojmy uvádím v jednotném čísle):

VARIACE k-TÉ TŘÍDY Z m PRVKŮ = "prostá variace k-té třídy z m prvků",
VARIACE k-TÉ TŘÍDY Z m PRVKŮ S OPAKOVÁNÍM = "variace k-té třídy z m prvků - bez ohledu na to, zda je prostá",
KOMBINACE k-TÉ TŘÍDY Z m PRVKŮ = "kombinace k-té třídy z m prvků, jejíž typ je roven 1",
KOMBINACE k-TÉ TŘÍDY Z m PRVKŮ S OPAKOVÁNÍM = "kombinace k-té třídy z m prvků - jejíž typ může být libovolný".

Offline

 

#7 06. 10. 2010 12:30

petrkovar
Veterán
Místo: Ostrava/Paskov
Příspěvky: 996
Pozice: VŠB - TU Ostrava
Reputace:   23 
Web
 

Re: Kombinatorika

↑ Rumburak:
Rozumím důvodům a zčásti s nimi souhlasím.
Na druhou stranu mi navržený přístup nepřijde šťastně navržený. Konstrukce kombinací je zbytečně  technická.
Kolik je kombinací 7. třídy z 5 prvků, jejíž typ je roven 3?

Offline

 

#8 06. 10. 2010 14:18 — Editoval Rumburak (07. 10. 2010 14:17)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Kombinatorika

↑ petrkovar:

Především děkuji za reakci.

Navržená definice kombinací se mi osvědčila ke srozumitelnému odvození vzorce pro počet C'(n,k) klasikých kombinací s opakováním.
Ale netvrdím, že tento systém je bez nedostatků. 


K té úloze "Kolik je kombinací 7. třídy z 5 prvků, jejíž typ je roven 3?":

Pokoušet se o odvození obecného vzorce jsem zatím nepovažoval za nutné, ale tuto výzvu výhledově přijímám.

Prozatím jen konkretně a schematicky, určitě to bude srozumitelné i bez podrobného komentáře:

7   =  3  +  1  + 1  +  1  +  1     ......   počet možností :  5  ,
7   =  3  +  2  + 1  +  1  +  0     ......   počet možností :  5*4*3 ,
7   =  3  +  2  + 2  +  0  +  0     ......   počet možností :  5*(4 nad 2)  *)
7   =  3  +  3  + 1  +  0  +  0     ......   počet možností :  5*4*3 , OPRAVA:  5*(4 nad 2)  obdobně jako o řádek výše

tedy pokud jsem se někde nesekl.

*)...  využil jsem toho, že  případ  "2  + 2  +  0  +  0"  má stejný počet možností jako případ  "1  + 1  +  0  +  0" .

Jak tuto úlohu zformulovat v klasických pojmech ? Bylo by to komplikovanější a připadá mi, ža ani řešení by nebylo snazší.

Offline

 

#9 06. 10. 2010 22:13

petrkovar
Veterán
Místo: Ostrava/Paskov
Příspěvky: 996
Pozice: VŠB - TU Ostrava
Reputace:   23 
Web
 

Re: Kombinatorika

↑ Rumburak:Vztah pro počet kombinací s opakováním se odvozuje "klasicky" s využitím "oddělovačů". Mám za to, že je to snadno vstřebatelné i dobře zapamatovatelné. Samozřejmě závisí na konkrétním podání (jako se vším ;-)

Nerad bych, aby to vyznělo, že je třeba trápit se se vzorcem. (Řekl bych, že nejlépe jej lze odvodit s využitím inkluze a exkluze). Chtěl jsem říci, že uvedená definice se snaží obejít pojem "s opakováním" a místo toho zavádí pojem "typ". Ve zcela analogickém, jen více technicky náročném kontextu.

Uvedená definice variace vychází z pojmu zobrazení, přičemž předpokládá dobré zvládnutí tohoto pojmu. Moje zkušenost se studenty techniky je, že zobrazení je téměř výhradně probíráno na nekonečných spojitých množinách (nerozlišujeme "zobrazení" a "funkce"). Naproti tomu mají informatici dobře zažitý pojem posloupnosti (jednorozměrné pole) a tak variace zavádíme jako posloupnosti, jejíž prvky vybíráme (s opakováním/bez opakování) z nějaké konečné množiny.

Největším kamenem úrazu nejsou definice ani vzorečky (u zkoušky je povolena jedna strana A4 s poznámkami), ale samotné porozumění zadání u slovních úloh. V kombinatorice tato slabina hodně vyčnívá. Srovnejme s diferenciálním počtem, limitami, integály, soustavy rovnic... Tam obvykle vzoreček trčí ze zadání.

Offline

 

#10 07. 10. 2010 11:20 — Editoval Rumburak (07. 10. 2010 14:06)

Rumburak
Místo: Praha
Příspěvky: 8691
Reputace:   502 
 

Re: Kombinatorika

↑ petrkovar:
Ten "typ" u "kombinace" jsem zavedl jen proto,  aby se jeho prostřednictvím zjednodušila definice kombinace bez opakování.   Bez tohoto
v podstatě pomocného pojmu by jistě bylo možno se obejít, pokud by se ukázalo, že další uplatnění už nemá.

Zkušenosti učitele respektuji a jsem rád, že jste (jsi) se se mnou o ně podělil. Hledisko učit látku takovým způsobem, aby počet studentů,
kteří ji správně pochopí a dovedou použít, byl co největší, je samozřejmě správné.

Mezi důvody, proč jsem se snažil najít ke SŠ kombinatorice alternativní cestu, hrál svoji významnou a možná i hlavní roli právě onen vzpomínaný
vzorec pro počet kombinací s opakováním, jehož důkaz metodou "oddělovačů", jak byl prezentován v učebnici,  jsem tehdy vůbec nepochopil
(což byla v "mé" matematice na SŠ jedna z velmi mála situací tohoto druhu a je možné, že i jediná, protože na další takovou se nepamatuji)
a myslím, že i dnes bych s tím měl problém, o naději takovýmto způsobem vzorec samostatně odvodit ani nemluvě - teprve přes ty funkce jsem
do toho začal vidět.

Možná že jenom nejsem "kombinatorický typ" -  i v běžném životě mne leká, musím-li čelit velkému množství možností. :-)

EDIT .  Zakončím tento příspěvek úsměvnou příhodou:  Jeden můj známý se sklony k lehce sadistickému humoru - učitel statistiky na VŠ -
také studentům povoloval u zkoušky "tahák" - ovšem pouze formátu A5 a tahák musel být "přihlášen".  Když jistý student přišel s tahákem
velikosti A4, dotyčný učitel mu jej přetrhl na dvě půlky a dal mu vybrat, kterou půlku si chce ponechat.

Offline

 

#11 07. 10. 2010 21:31 — Editoval petrkovar (06. 11. 2010 20:41)

petrkovar
Veterán
Místo: Ostrava/Paskov
Příspěvky: 996
Pozice: VŠB - TU Ostrava
Reputace:   23 
Web
 

Re: Kombinatorika

↑ Rumburak:My povolujeme jednu STRANU A4. S Möbiovým listem zatím nikdo nepřišel...

Offline

 

Zápatí

Powered by PunBB
© Copyright 2002–2005 Rickard Andersson