Matematické Fórum

fordox · 07. 10. 2010 23:04 — Editoval fordox (07. 10. 2010 23:05)

Zdravim, mam tady takovy mensi problem s jednim prikladkem...nepotrebuji ho vyresit, ale spis rozlustit vlastni zapis.... Nevim jak je mysleno Ai a jak mam chapat to pod symboly pruniku a sjednoceni.

Tychi · 08. 10. 2010 08:58 — Editoval Tychi (08. 10. 2010 08:59)

množina I je vlastně jen takové počítadlo, ty z ní postupně vybereš její prvky a označíš jimi množiny, abys je od sebe odlišil. Obvykle je např. I={1,2,3,4,5},
$A_i$ jsou pak $A_1, A_2, A_3, A_4, A_5$
A co se týče toho pod průniky a sjednoceními...ten symbol značí, (průnik) sjednocení všech množin $A_i$ , tedy v mém případě $A_1\cup A_2\cup A_3 \cup A_4 \cup A_5$ .

Pavel · 08. 10. 2010 11:07

↑ Tychi:

S množinou I je problém. Ta množina může být i nespočetná, takže vybrat z ní prvky, jak píšeš, jen tak nepůjde. Jak kdysi pan Cantor ukázal, prvky nespočetné množiny nelze opatřit indexy 1,2,3,...

Tychi · 08. 10. 2010 11:28

↑ Pavel: Máš pravdu, jen jsem to chtěla středoškolsky přiblížit.

Rumburak

↑ fordox:
Kolegyně ↑ Tychi: to popsala na jednoduchém příkladu a myslím, že velmi názorně tak, aby to student SŠ snadno pochopil.
Abych uspokojil nároky na korektnost, které vznáší kolega ↑ Pavel: , pokusím se o obecnější vysvětlení:

Je dána množina $I$ , při čemž každému $i\in I$ je přiřazena množina $A_i$ .

Jde tedy o jakousi funkci $A$ , jejímž definičním oborem je množina $I$ a oborem funčních hodnot množina jakýchsi množin
(milovníci dobré češtiny snad prominou). Namísto symbolu $A(i)$ pro hodnotu této funkce v "bodě" $i$ však píšeme stručněji $A_i$ .
Hodnotou funkce $A$ v "bodě" $i$ je tedy množina $A_i$ .

Symbol $\Bigcup_{i\in I}A_i$ značí množinu těch prvků, které patří aspoň do jedné z množin $A_i$ , kde $i\in I$ .

Symbol $\Bigcap_{i\in I}A_i$ značí množinu těch prvků, které patří do každé z množin $A_i$ , kde $i\in I$ .

Například je-li $I =\{1,\,2,\,3\}$ , potom $\Bigcup_{i\in I}A_i = A_1 \cup A_2 \cup A_3$ , $\Bigcap_{i\in I}A_i = A_1 \cap A_2 \cap A_3$ .

Symbol $X\backslash Y$ znamená množinu prvků, které patří do X a při tom nepatří do Y.

fordox · 09. 10. 2010 12:24 — Editoval fordox (09. 10. 2010 12:28)

chapu spravne, ze toto $\Bigcup_{i\in I}A_i$ vlastne se rovna mnozine I? a u toho uvvedeneho prikladu jsou A1,A2,A3 jednoprvkove mnoziny, nebo to jsou proste mnoziny, ktere obsahuji prvky 1,2,3, ale nejsou jednoprvkove?protoze jsou - li jednoprvkove, pote nechapu ten prunik

Olin · 10. 10. 2010 00:40

↑ fordox:
Nenene, to nějak chápeš úplně špatně. O množinách $A_1,\, A_2,\, A_3$ neříká kolega Rumburak vůbec nic. V podstatě popisoval to, že pokud je množina $I$ nějaká konečná, pak můžeme tyto "velké" symboly sjednocení a průniku nahradit malými. Zkusím nějaký konkrétnější příklad:

$I = \{\Delta,\, \Sigma,\, \Omega\}\nl A_{\Delta} = \{1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5\}\nl A_{\Sigma} = \{2,\, 4,\, 5\}\nl A_{\Omega} = \{1,\, 4,\, 6\}$

Potom platí

$\bigcap_{i \in I} A_i = A_{\Delta} \cap A_{\Sigma} \cap A_{\Omega} = \{4\}\nl \bigcup_{i \in I} A_i = A_{\Delta} \cup A_{\Sigma} \cup A_{\Omega} = \{1,\, 2,\, 3,\, 4,\, 5,\, 6\}$

Zkusím uvést jeden ne zcela triviální příklad (snad by ale mohl být na SŠ úrovni pochopitelný), který ilustruje využití této notace pro průniky či sjednocení nekonečně mnoha množin. Označme

$M_n = $0,\, \frac 1n$ \text{ pro } n \in \mathbb N$

(jde o otevřené intervaly s krajními body 0 a 1/n)

Pak dostáváme

$\bigcap_{n \in \mathbb N} M_n = \emptyset$ ,

jelikož množiny $M_n$ obsahují pouze kladná čísla a pro každé $x>0$ najdeme takové $m \in \mathbb N$ , že $\frac 1m < x$ , takže $x \notin M_m$ . Protože v jedné z množin $M_n$ číslo $x$ neleží, nemůže ležet v jejich průniku (taková je definice), proto je celkový průnik prázdná množina, přestože pokud bychom "pronikli" pouze konečné množství těchto množin, dostaneme neprázdnou množinu.

halogan · 10. 10. 2010 10:21

Ahoj Jiří,

1. Přesouvám do sekce vysoké školy. Přeci jen jsi studentem IES a toto je látka prvního semestru :-)

2. Moje loňské trable s de Morganovými pravidly tu najdeš.

3. U těchto pravidel potřebuješ dvě věci:
a) Pochopit, jak fungují. Budeš je potřebovat u několika důkazů a budou hrát roli ve statistice v druháku.
b) Znát důkaz těch rovností na zkoušku. Jeden z kolegů jednu rovnost dokazuje ve výše odkázaném tématu.

4. OT: Nějaké těžší limity z matiky I jsem na toto fórum posílal. Najdeš je tam i s řešením od někoho z kolegů. Stačí na mém profilu dát zobrazit má témata.

5. Pokud bys měl ještě s něčím problém, tak mě ve škole odchytni.

fordox · 10. 10. 2010 12:01

ahoj,
odhalil jsi me:-). Dal jsem to do uciva SS, protoze jsem nechtel pomoci ten priklad vyresit, ale jen pomoc s rozlustenim vlastniho zapisu, coz mi prislo, ze by se spise hodilo do uciva SS, ale podle odpovedi jsem se docela mylil.
Jinak myslim, ze je dobre, ze jsi se mi takhle ozval, protoze je dost mozne, ze bych sem daval priklady, ktere uz tady jsou vyresene.
Jinak podle prvnich hodin vypada, ze ta matika bude fakt zajimava:)

Diky Olinovi, myslim, ze uz to chapu.

halogan · 10. 10. 2010 12:53

↑ fordox:

Určitě sem házej všechno, tady na fóru se celkem obtížně hledají konkrétní vyřešené úlohy (jen milá kolegyně jelena to zvládá levou zadní). Spíš navrhni nějaké (částečné) řešení a určitě někdo pomůže.

A klidně sem pošli i své spolužáky. Loni tady bylo jen asi 5 současných druháků a všem se dostalo pomoci.

Hezký zbytek víkendu přeji.

Matematické Fórum

#1 07. 10. 2010 23:04 — Editoval fordox (07. 10. 2010 23:05)

mnozina

#2 08. 10. 2010 08:58 — Editoval Tychi (08. 10. 2010 08:59)

Re: mnozina

#3 08. 10. 2010 11:07

Re: mnozina

#4 08. 10. 2010 11:28

Re: mnozina

#5 08. 10. 2010 11:56 — Editoval Rumburak (08. 10. 2010 13:54)

Re: mnozina

#6 09. 10. 2010 12:24 — Editoval fordox (09. 10. 2010 12:28)

Re: mnozina

#7 10. 10. 2010 00:40

Re: mnozina

#8 10. 10. 2010 10:21

Re: mnozina

#9 10. 10. 2010 12:01

Re: mnozina

#10 10. 10. 2010 12:53

Re: mnozina

Zápatí