Matematické Fórum

halogan

Dobrý den,

na hodině statistiky jsme probírali multinomial coefficients a nějak mi to neleze do hlavy. Odkaz na slidy je následující (PDF, strana 14 a 15).

Co mám za problémy:

1) Pochopit to. Celé to vlastně stojí na tom Teorému 9. Není mi zas tolik jasné to kombinační číslo. Je to jaksi rozšířená binomická věta, ale nevím, jak se k tomu došlo. Měl byste někdo nějaké lidské vysvětlení? Můj návrh: rozkouskuju všechny ty závorky na jednotlivé nejmenší členy a spočítám, kolika způsoby se mohlo dojít k tomu mému konkrétnímu. Je to ale takové dost obecné.

2) Udělat úkol. Máme obdobu příkladu 20 z těch slajdů, ale s jednotlivé proměnné nejsou násobeny jen jedničkami. Naše znění dávat nebudu, ale podobně jak takto vypadá:

$(2a + 4b - 3c)^9$ , zjisti koeficient u $a^3 b^4 c^2$ . Můj návrh by byl: ${9 \choose 3,4,2} \cdot 2^3 \cdot 4^4 \cdot (-3)^2$ .

---

Děkuji za komentáře.

Edit: koukám, že s bykem máme podobné problémy ve stejný čas :-) Budu sledovat i jeho téma a uvidíme, kde se objeví nějaká rada.

Pavel Brožek

1) $(x_1+\ldots+x_r)^n$ je součin n závorek $(x_1+\ldots+x_r)$ . Kdybychom to měli úplně hloupě roznásobit, dostaneme součet $r^n$ členů, u každého členu tohoto součtu se z každé závorky vybere právě jedno $x_i$ . Z těch $r^n$ členů se ale některé opakují. Protože vlastně každý člen tohoto součtu je permutace s opakováním, můžeme přes tyto různé permutace přesčítat (to je ta suma). Multinomický koeficient pak odpovídá počtu takových permutací.

2) S řešením souhlasím.

Olin · 13. 10. 2010 21:01 — Editoval Olin (13. 10. 2010 21:16)

Kolegovi byk7 jsem již odpověděl, avšak nevím, jestli je to to, co jsi chtěl slyšet. Zkusím nabídnout na multinomickou větu kombinatorický pohled, možná to pomůže. Nejprve krátký textík o multinomických koeficientech, převzatý z knihy Kapitoly z diskrétní matematiky (Matoušek, Nešetřil):

Nyní uvažujme takto: chceme zjistit koeficient u $x_1^{k_1}x_2^{k_2} \dots x_m^{k_m}$ v rozkladu $(x_1 + x_2 + \dots + x_m)^n$ . Kdybychom závorku roznásobovali, dělali bychom to takto: napsali bychom si ji n-krát za sebou a postupně ji procházeli, přičemž bychom při průchodu vybrali $k_1$ -krát $x_1$ atd. až $k_m$ -krát $x_m$ . Kolik různých takových průchodů závorkami existuje? No tolik, kolik různých slov dokážeme poskládat z písmen $x_1,\, x_2,\, \ldots,\, x_m$ , jestliže jich máme k dispozici právě $k_1,\, k_2,\, \ldots,\, k_m$ .

Matematické Fórum

#1 13. 10. 2010 20:36 — Editoval halogan (13. 10. 2010 20:56)

Multinomické koeficienty

#2 13. 10. 2010 20:54 — Editoval BrozekP (13. 10. 2010 21:07)

Re: Multinomické koeficienty

#3 13. 10. 2010 21:01 — Editoval Olin (13. 10. 2010 21:16)

Re: Multinomické koeficienty

Zápatí