Matematické Fórum

legy · 18. 10. 2010 20:47

Zdravim, tento priklad je naprosto trivialni. Alespon, mi tak pride po dosazeni a po logicke strance taky, kdyz mam 2 LN vektory a sectu je, vysledek je take LN. Predpokladam, ze jde o vektorovy soucet. Ale nenapad me zpusob, jak to dokazat, mne maticke dukazy nikdy moc nesly. Mozna pres matice? Ale potrebuju trknout. Predem diky.

Oxyd · 18. 10. 2010 21:11

Napsat to do matice ti tady nepomůže. Byl by to dobrý nápad, kdybys měl vektory zadané konkrétně čísly, což tady ale nemáš.

Je třeba pracovat přímo z definice: Trojice vektorů x, y, z se nazve lineárně nezávislá pokud platí $\alpha \vec{x} + \beta \vec{y} + \gamma \vec{z} = \vec{0} \Rightarrow \alpha = \beta = \gamma = 0$ . Tzn. jediná možnost, jak z těch tří vektorů nakombinovat nulový vektor, je vynásobit je všechny nulou.

O u, v, w uvedenou podmínku předpokládáme. Potřebujeme dokázat její platnost pro a, b, c. Budeme si hrát s takovouhle rovnicí:

$\alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + \gamma \vec{c} = \vec{0}$

a chceme z téhle rovnosti -- a toho, že u, v, w jsou LN -- vyvodit, že všechny tři koeficienty musí nutně být nulové.

Stačí takhle?

legy · 18. 10. 2010 21:28

↑ Oxyd:
At nad tim premyslim, jak premyslim, nemohu si pomoci, proc to dokazovat pres nulovy vektor. "Je třeba pracovat přímo z definice: Trojice vektorů x, y, z se nazve lineárně nezávislá pokud platí . Tzn. jediná možnost, jak z těch tří vektorů nakombinovat nulový vektor, je vynásobit je všechny nulou. " Bez problemu chapu. "O u, v, w uvedenou podmínku předpokládáme" Taky naprosto jasny. Nevim vsak jak a proc to dokazovat take pro a,b,c a pak pises, ze budeme pracovat s takovouto rovnici, ale pak zminujes i rovnost. Tady se uz ztracim, mohl bych te pozadat o trochu polopatictejsi rozvedeni? Jsem clovek primitivniho razu.

Oxyd · 18. 10. 2010 21:44

↑ legy:

Zadání chce, abychom dokázali, že a, b, c jsou lineárně nezávislé. To znamená, že máme ověřit, že tyto vektory splňují definici lineární nezávislosti. Proto to potřebujeme pro a, b, c dokázat -- je to vlastně přesně to, co se po nás chce. Slova rovnost a rovnice používám synonymně, omlouvám se, pokud tě to zmátlo. :-)

K tomu "Jak to dokázat" -- umíme rozepsat a, b, c pomocí u, v, w ze zadání.

$\alpha \vec{a} + \beta \vec{b} + \gamma \vec{c} = \vec{0}$
$\alpha \left( \vec{u} + \vec{v} \right) + \beta \left( \vec{v} + \vec{w} \right) + \gamma \left( \vec{w} + \vec{u} \right) = \vec{0}$

Teď je to otázka úpravy rovnice a použití předpokladu, že u, v, w jsou LN, abychom odvodili, že $\alpha, \beta, \gamma$ jsou všechny 0.

legy · 18. 10. 2010 22:03

↑ Oxyd:p
To jo, rovnici obycejne roznasobim, ale pak nevim, co dela s temi alfa, beta, gama nasobky vektoru. Pokud je rozepisu po jednotlivych souradnicih, nadelam si poradnou porci neznamych, to je hloupost. Porad nevim, jak ale z teto rovnice dokazat, ze alfa, beta a gama jsou nuly, jestlize vsechno to jsou obecne nezname.

LukasM · 18. 10. 2010 22:09

↑ legy:
Po souřadnicích je těžko rozepíšeš, vždyť vůbec není určeno co je to za vektory, klidně to mohou být nějaké funkce, nebo co já vím.

Roznásob, a pak si dej na levé straně k sobě všechna u,v,w. Z toho, a z toho co napsal Oxyd ve svém prvním příspěvku (v 1. TeX rámečku), bys mohl něco vykoukat.

legy · 18. 10. 2010 22:22 — Editoval legy (18. 10. 2010 22:32)

↑ LukasM:
Udelal jsem a jak pises, pride mi to vskutku velice podobne. Ale porad me nenapada uprava, jak docilit stejneho vyrazu a co dal. Nejsem matik, nevidim to v tom. At se sebe vic snazim.. :( Nemylim-li se, by ty konstanty stejne, mohu vytknout a docilim stejne rce, jako psal Oxyd. Ale i tak pak bych asi nevedel k cemu mi to bude dobre. Vim, ze pro vas, jakozto pro matiky to je tristni, ze to v tom asi nevidim, ale matika nikdy nebyla muj obor. :/

LukasM · 19. 10. 2010 09:28 — Editoval LukasM (19. 10. 2010 09:30)

↑ legy:
Já jsem ale neříkal že máš docílit přesně stejného výrazu. Měl by ses dostat k tomuto:
$\left( \alpha + \gamma \right) \cdot \vec{u} + \left( \alpha + \beta \right) \cdot \vec{v} + \left( \beta + \gamma \right) \cdot \vec{w}= \vec{0}$ .

Když se na to podíváš, tak uvidíš, že jsme vlastně nakombinovali nulový vektor z trojice vektorů u,v,w - ale protože tato trojice je lineárně nezávislá, víme, že příslušné koeficienty (v tomhle případě ta čísla v závorkách) musí být všechny nulové. Pokud tedy všechny závorky položíš rovny nule, a dopočítáš hodnoty $\alpha, \beta, \gamma$ , dostaneš se k tomu co potřebuješ.

Matematické Fórum

#1 18. 10. 2010 20:47

Důkaz LN trojce vektorů

#2 18. 10. 2010 21:11

Re: Důkaz LN trojce vektorů

#3 18. 10. 2010 21:28

Re: Důkaz LN trojce vektorů

#4 18. 10. 2010 21:44

Re: Důkaz LN trojce vektorů

#5 18. 10. 2010 22:03

Re: Důkaz LN trojce vektorů

#6 18. 10. 2010 22:09

Re: Důkaz LN trojce vektorů

#7 18. 10. 2010 22:22 — Editoval legy (18. 10. 2010 22:32)

Re: Důkaz LN trojce vektorů

#8 19. 10. 2010 09:28 — Editoval LukasM (19. 10. 2010 09:30)

Re: Důkaz LN trojce vektorů

Zápatí