Matematické Fórum

Napsat to do matice ti tady nepomůže. Byl by to dobrý nápad, kdybys měl vektory zadané konkrétně čísly, což tady ale nemáš.

Je třeba pracovat přímo z definice: Trojice vektorů x, y, z se nazve lineárně nezávislá pokud platí . Tzn. jediná možnost, jak z těch tří vektorů nakombinovat nulový vektor, je vynásobit je všechny nulou.

O u, v, w uvedenou podmínku předpokládáme. Potřebujeme dokázat její platnost pro a, b, c. Budeme si hrát s takovouhle rovnicí:



a chceme z téhle rovnosti -- a toho, že u, v, w jsou LN -- vyvodit, že všechny tři koeficienty musí nutně být nulové.

Stačí takhle?

↑ legy:

Zadání chce, abychom dokázali, že a, b, c jsou lineárně nezávislé. To znamená, že máme ověřit, že tyto vektory splňují definici lineární nezávislosti. Proto to potřebujeme pro a, b, c dokázat -- je to vlastně přesně to, co se po nás chce. Slova rovnost a rovnice používám synonymně, omlouvám se, pokud tě to zmátlo. :-)

K tomu "Jak to dokázat" -- umíme rozepsat a, b, c pomocí u, v, w ze zadání.




Teď je to otázka úpravy rovnice a použití předpokladu, že u, v, w jsou LN, abychom odvodili, že jsou všechny 0.

↑ legy:
Po souřadnicích je těžko rozepíšeš, vždyť vůbec není určeno co je to za vektory, klidně to mohou být nějaké funkce, nebo co já vím.

Roznásob, a pak si dej na levé straně k sobě všechna u,v,w. Z toho, a z toho co napsal Oxyd ve svém prvním příspěvku (v 1. TeX rámečku), bys mohl něco vykoukat.

↑ legy:
Já jsem ale neříkal že máš docílit přesně stejného výrazu. Měl by ses dostat k tomuto:
.

Když se na to podíváš, tak uvidíš, že jsme vlastně nakombinovali nulový vektor z trojice vektorů u,v,w - ale protože tato trojice je lineárně nezávislá, víme, že příslušné koeficienty (v tomhle případě ta čísla v závorkách) musí být všechny nulové. Pokud tedy všechny závorky položíš rovny nule, a dopočítáš hodnoty , dostaneš se k tomu co potřebuješ.