Matematické Fórum

Pavel Brožek · 02. 10. 2008 20:22

Pokud rádi řešíte limity, tak zde je jedna:

$\lim_{n\to\infty}\sin n^2$

Řešili jsme ji dnes ve škole a pokud vím, tak ji nikdo uspokojivě nevyřešil. Co jsem tak rychle nakoukl na internet, tak jsem našel pouze dlouhá řešení (ta krátká jsem možná přehlédl :-), takže jsem si je nečetl a budu taky ještě řešit :-)

Kondr · 03. 10. 2008 02:39

Počítáme $\lim_{n\to\infty}\sin\left( 2\pi \{\frac{n^2}{2\pi}\}\right)$ kde {x} značí desetinnou část z x. Aby limita existovala, musela by posloupnost $\{\frac{n^2}{2\pi}\}$ mít nejvýše dva hromadné body, označme je a,b (výjimkou je možnost, že by měla hromadné body 0,1/2 a 1, kterou ošetříme později). Předpokládejme, že tato posloupnost nejvýše dva hromadné body má.
Pak pro každé epsilon jde najít hodnotu $n_0$ takovou, že se
$\{\frac{n_0^2}{2\pi}\}$ a $\{\frac{4n_0^2}{2\pi}\}$ od některého (ne nutně od stejného) hromadného bodu liší o méně než epsilon. Je-li první z těchto hodnot rovna c, je druhá rovna {4c}.
Platí proto
({4a}=a nebo {4a}=b) a ({4b}=a nebo {4b}=b). Mám tedy tři možnosti:
{4a}=a (pak a=1/3, a=2/3 nebo a=0)
{4b}=b (pak b=1/3, b=2/3 nebo b=0)
{16a}=a (pak a=i/15).
Současně ale ({225a}=a nebo {225a}=b) a ({225b}=a nebo {225b}=b), což ve všech případech vede na a=0 neb b=0. Hledaná limita je proto 0. Krom 0 může mít naše posloupnost hromadné body 1/2 a 1. To ale nelze.

Hledaná posloupnost nemá limitu.

Marian · 03. 10. 2008 06:09

↑ BrozekP:
A co takhle limita
$\lim_{n\to\infty\nl n\in\mathbb{N}}\quad\sin ^2\left (\pi\sqrt{n^2+n}\right )?$
:-)

Kondr · 03. 10. 2008 08:25

↑ Marian:
Limitu muzeme upravovat:
$\lim_{n\to\infty\nl n\in\mathbb{N}}\quad\sin ^2\left (\pi\sqrt{n^2+n}\right )?$
$\lim_{n\to\infty\nl n\in\mathbb{N}}\quad\sin ^2\left ((n+1/2)\pi+\pi\sqrt{n^2+n} -(n+1/2)\pi\right)?$ vzhledem k periode pi fce sin^2
$\lim_{n\to\infty\nl n\in\mathbb{N}}\quad\sin ^2\left (\frac{\pi}2+\pi(\sqrt{n^2+n} -(n+1/2))\right)?$ sin^2 je spojita fce, takze staci vycislit limitu v argumentu:
$\lim_{n\to\infty\nl n\in\mathbb{N}}\quad\sin ^2\left (\frac{\pi}2+\pi\cdot 0\right)=1$ .

Pavel · 25. 10. 2010 19:53

↑ Kondr:

Shodou okolností jsem se ke Tvému příspěvku dostal až nyní :-) Není mi jasná druhá polovina Tvého důkazu. Sám jsem se snažil neexistenci limity dokázat jinak, zatím bez úspěchu. Jestli si na toto ještě vzpomínáš, mohl bys to víc rozvést? Díky.

Kondr · 25. 10. 2010 22:57

↑ Pavel: Už si vůbec nevzpomínám :)

check_drummer · 26. 10. 2010 20:16

Podobná věc se řeší zde. Obě úlohy si zaslouží podle mého být v sekci "Zajímavé úlohy z matematické analýzy".

Matematické Fórum

#1 02. 10. 2008 20:22

Limita sin n^2

#2 03. 10. 2008 02:39

Re: Limita sin n^2

#3 03. 10. 2008 06:09

Re: Limita sin n^2

#4 03. 10. 2008 08:25

Re: Limita sin n^2

#5 25. 10. 2010 19:53

Re: Limita sin n^2

#6 25. 10. 2010 22:57

Re: Limita sin n^2

#7 26. 10. 2010 20:16

Re: Limita sin n^2

Zápatí