Matematické Fórum

gixerrr · 01. 11. 2010 09:39

Ahoj, mám dotaz ohledně střední hodnoty....

Jaktože střední hodnota(za periodu) obdélníkového průběhu se rovná jeho amplitude? Obdelnikovy prubeh je podle mne periodicky, a stredni hodnota periodickych prubehu je rovna nula (viz sinus). Chapal jsem to tak, ze treba u toho sinu tak pokud pocitam stredni hodnotu za periodu, tak to, co naintegruju nad krivkou zase naintegruju pod krivkou a proto je vysledek nulovy....

U toho obdelniku mi vypocet vychazi dobre, ale nejak to nechapu.....

Predem diky za vysvetleni :-)

Rumburak · 01. 11. 2010 10:29

Termín "střední hodnota" se používá v mnoha významech. Domnívám se, že máš na mysli číslo

$\overline f \,:=\, \frac{1}{T}\int_{c}^{\,\,c + T} f(t)\,\text{d}t$ ,

kde T > 0, f funkce s periodou T a integrovatelná na každém intervalu délky T. Číslo c je libovolný bod reálné osy, na jehož volbě
při výpočtu této střední hodnoty nezálezí . Je tam něco nejasného ?

gixerrr · 01. 11. 2010 10:55

ano, přesně to mám na mysli....konkrétně jde o vypočet střední hodnoty napeti obdelnikového průběhu.........

nejde mi ani tak o výpočet(ten jsem zvládnul), jako spíše o význam.....já měl prostě zato, že periodické prúběhy (sinus, cosinus,...) maji stredni hodnotu nulovou......? a tudiz jsem myslel, ze tenhe obdelnik bude mit take nulovou stredni hodnotu........? a nějak nechápu, proč jeho střední hodnota vychází rovna jeho amplitudě..........?

Rumburak

↑ gixerrr:
Střední hodnota periodické funkce nemusí být nutně 0. Například zvolíme-li konstantu $M$ , pak pro funkci $f(x) \, := \, \sin \,x \, +\,M$ ,
která má periodu $2\pi$ , je , jak snadno zjistíme,

$\overline f \,:=\, \frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} f(t)\,\text{d}t \,=\.M$ .

Střední hodnota funkce f je, populárně řečeno, taková číselná hodnota , okolo níž graf periodická funkce f "vyváženě kmitá" (s. h. při tom nemusí
nutně patřit do oboru hodnot funkce f) .
Takže je-li v předchozím příkladu M > 1 a máme-li odhadnout obsah obrazce Q ohraničeného osou x, grafem funkce f a přímkami o rovnicích
x = 0, x = K , kde K > 0 , pak můžeme funkci f nahradit konstantní funkcí g = M (M je ta střední fodnota fce f) a tedy obrazec Q obdélníkem D
o stranách velikostí M,K.
Je-li číslo K celočíselným násobkem periody, pak obsah obdélníka D (daný číslem K*M) je roven obsahu obrazce Q.
Bude-li konstanta K mít velkou hodnotu, i když by nešlo o celočíselný násobek periody, pak relatativní chyba vzniklá nahrazenín obsahu obrazce Q
obsahem obdélníka D bude malá .
V těchto vlastnostech spočívá význam střední hodnoty.

EDIT. Na tu Tvoji funkci, jejíž s. h. potřebuješ objasnit, se podívám, ale k tomu je potřeba, abys napsal její přesné zadání.

gixerrr · 01. 11. 2010 16:17

"číselná hodnota , okolo níž graf periodická funkce f "vyváženě kmitá" " ............ proto jsem mel za to, že tady to bude nula....ale není

je to takovy priklad: http://img813.imageshack.us/img813/5445/40107197.png

Rumburak · 01. 11. 2010 16:51

↑ gixerrr: Ve výpočtu máš bohužel chybu. Ten výpočet by byl správně, pokud by platilo
$\int_{\frac{T}{2}}^{T} f(t)\,\text{d}t = \int_{0}^{\frac{T}{2}} f(t)\,\text{d}t$ , avšak v případě nakreslené křivky je $\int_{\frac{T}{2}}^{T} f(t)\,\text{d}t = -\int_{0}^{\frac{T}{2}} f(t)\,\text{d}t$ (v bodě T/2 funkce mění znaménko).
Z této druhé rovnosti už snadno plyne, že ta střední hodnota je 0, jak bylo očekáváno.

gixerrr · 01. 11. 2010 19:32

tak jsem si to rozdělil na 2 části..... v první(integruji od 0 do T/2) mi vyjde +Um a ve druhé(integruji od T/2 dp T) -Um ....... výsledná střední hodnota by mela být jejich aritmetický průměr, a ten je roven nule (Um - Um)/2 = 0.....

http://img838.imageshack.us/img838/310/img0048hk.jpg

Je to tak správně?
Ono ve skriptech mám, že to má vyjít Um, ta střední hodnota....takže tam je asi chyba .......

Rumburak · 02. 11. 2010 09:39

Ani není nutno do toho míchat aritmetický průměr.
Na intervalu (0, T) naše funkce f probíhá takto:

$f(t)\,:=\{\,\,\,\,U_m \,\,\,\text{pro} \,\,t\in$0,\,\frac{T}{2}$,\nl-U_m \,\,\,\text{pro}\, \,t\in$\frac{T}{2},\,T$.$

Proto

$\int_{0}^{T} f(t)\,\text{d}t \,=\,\int_{0}^{\frac{T}{2}} f(t)\,\text{d}t \,+\,\int_{\frac{T}{2}}^{T} f(t)\,\text{d}t \,= \,\int_{0}^{\frac{T}{2}}U_m \,\text{d}t \,+\,\int_{\frac{T}{2}}^{T} (-U_m )\,\text{d}t\,=\,U_m\cdot$ \frac{T}{2}\,-\,0$ \,+\, (-U_m )$T\,-\,\frac{T}{2}$\,=\,0$ ,
$\overline f \,:=\, \frac{1}{T}\int_{0}^{T} f(t)\,\text{d}t =\frac{1}{T}\cdot 0 \,=\,0$ .

Matematické Fórum

#1 01. 11. 2010 09:39

Střední hodnota

#2 01. 11. 2010 10:29

Re: Střední hodnota

#3 01. 11. 2010 10:55

Re: Střední hodnota

#4 01. 11. 2010 12:00 — Editoval Rumburak (01. 11. 2010 13:44)

Re: Střední hodnota

#5 01. 11. 2010 16:17

Re: Střední hodnota

#6 01. 11. 2010 16:51

Re: Střední hodnota

#7 01. 11. 2010 19:32

Re: Střední hodnota

#8 02. 11. 2010 09:39

Re: Střední hodnota

Zápatí