Matematické Fórum

djsipic

Ahoj, prosím nebyl by tu někdo tak hodnej a nezkusil vypočítat tyhle příklady? Děkuji :P :)

Tychi · 26. 10. 2010 17:55 — Editoval Tychi (26. 10. 2010 18:05)

Který krok indukce ti není jasný?
Budu předpokládat, že ten poslední, čili víme, že pro 1 to platí a předpokládáme, že pro n vztah platí. Dokážeme, že platí i pro n+1

$1^2+2^2+\ldots+n^2+(n+1)^2=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+n^2+2n+1=\frac{(n+1)$n(2n+1)+6(n+1)$}{6}=\nl=\frac{(n+1)(2n^2+7n+6)}{6}=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}$ ..dokázáno

JCDx · 03. 11. 2010 07:51

Nemohli byste prosim vyresit priklad e? Vubec si s nim nevim rady.
Dekuji

apollo1

to ečko by se dalo také dokázat takto: vychazí z bynomické věty... stačí vzít (1+1)na n tou ... a když to rozložíš podle vzorce tak ti zbydou jen ty kombinační čísla od n nad nultou až n nad n tou a to se rovná 2 na ntou pac 1+1 na n tou je 2 na ntou (avsak to samozřejmě NENÍ matematická indukce)

JCDx · 03. 11. 2010 10:15

Dekuji, problem ale je, ze bych to potreboval resit prave pomoci matematicke indukce. Neumi to nekdo pres indukci vyresit? Ja se pri te indukci vzdycky zaseknu v polovine a pak nevim, jak pokracovat...

Marian · 03. 11. 2010 10:35 — Editoval Marian (03. 11. 2010 10:43)

↑ apollo1:↑ djsipic: Dokažme tedy indukcí binomickou větu, tj. vztah

$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}a^{n-k}b^k.$

Nebudu v dalším diskutovat speciálně o výjimkách $a=0\quad\vee\quad b=0$ , které se dají ošetřit bez použití této poučky. Vysvětluji to proto, že po aplikaci binomické věty vznikají do jisté míry neurčité výrazy ve tvaru $[0^0]$ . Připomínám, že definice binomického koeficientu je tato:

s přihlédnutím k samozřejmé identitě $0!=1$ .

Tvrzení je platné pro $n=0$ , neboť $1=(a+b)^0$ a zároveň

$\sum_{k=0}^{0}{0\choose 0}a^{0-k}b^{k}={0\choose 0}a^0b^0=1.$

Předpokládejme nyní (indukční předpoklad), že tvrzení platí i pro nějaké fixní $n\ge 0$ , tedy ekvivalentně

$(a+b)^n=\sum_{k=0}^{n}{n\choose k}a^{n-k}b^k.$

Z toho odvodím, že binomická věta platí i pro $(n+1)$ takto:

Tím je důkaz indukcí kompletní.

Zpět k původní úloze. Dosadíme-li $a=b=1$ do binomické věty, řeší to jistě úlohu (e). Pokud bys trval na důkazu cvičení (e) přímo indukcí, stačí v předvedeném důkazu položit všude $a=1$ a $b=1$ .

petrkovar · 03. 11. 2010 12:15

↑ Marian:Jen upozorním, že existuje i kratší cesta, která se dá za čas vyhrazený písemce stihnout.

zdenek1 · 03. 11. 2010 12:37

↑ djsipic:
k e)

$\sum_{i=0}^{n+1}{n+1\choose i}={n+1\choose0}+{n+1\choose1}+\dots+{n+1\choose k-1}+{n+1\choose k}+{n+1\choose k+1}+\dots+{n+1\choose n}+{n+1\choose n+1}=$
$={n+1\choose0}+{n\choose0}+{n\choose 1}+\dots+{n\choose k-2}+{n\choose k-1}+{n\choose k-1}+{n\choose k}+{n\choose k}+{n\choose k+1}+\dots+{n\choose n-1}+{n\choose n}+{n+1\choose n+1}=$
$=2\sum_{i=0}^{n}{n\choose i}$

Marian · 03. 11. 2010 14:12

↑ zdenek1: Tohle mi nepřipomíná důkaz matematickou induckí.

↑ petrkovar: Nenapadá mě, jak bychom mohli postupovat rychleji metodou matematické indukce. Rád se poučím. Mohu poprosit o náznak řešení.

petrkovar · 03. 11. 2010 14:35

↑ Marian:Ten "náznak" je právě v příspěvku ↑ zdenek1:. Je to část inkukčního kroku. Nápověda: co je na levé straně a co na pravé straně v příspěvku autora zdenek1?
Celou úpravu je možno udržet v zápisu pomocí symbolu sumy (s jedním drobným trikem, který je z příspěvku patrný) a pak je uvedená úprava na 1 řádek.

Marian · 03. 11. 2010 14:38

↑ petrkovar: Jistě, už to vidím.

JCDx · 03. 11. 2010 15:10

Dekuji moc za radu, uz to chapu. Moc jste mi pomohli.

Matematické Fórum

#1 26. 10. 2010 17:48 — Editoval djsipic (26. 10. 2010 17:48)

Důkaz matematickou indukcí

#2 26. 10. 2010 17:55 — Editoval Tychi (26. 10. 2010 18:05)

Re: Důkaz matematickou indukcí

#3 03. 11. 2010 07:51

Re: Důkaz matematickou indukcí

#4 03. 11. 2010 08:53 — Editoval apollo1 (03. 11. 2010 08:55)

Re: Důkaz matematickou indukcí

#5 03. 11. 2010 10:15

Re: Důkaz matematickou indukcí

#6 03. 11. 2010 10:35 — Editoval Marian (03. 11. 2010 10:43)

Re: Důkaz matematickou indukcí

#7 03. 11. 2010 12:15

Re: Důkaz matematickou indukcí

#8 03. 11. 2010 12:37

Re: Důkaz matematickou indukcí

#9 03. 11. 2010 14:12

Re: Důkaz matematickou indukcí

#10 03. 11. 2010 14:35

Re: Důkaz matematickou indukcí

#11 03. 11. 2010 14:38

Re: Důkaz matematickou indukcí

#12 03. 11. 2010 15:10

Re: Důkaz matematickou indukcí

Zápatí