Matematické Fórum

Keo · 03. 11. 2010 22:59 — Editoval Keo (03. 11. 2010 23:34)

Ahoj, mam zadano:
edited:
$\lim_{n\rightarrow \infty}a_n \neq a \Leftrightarrow$ existuje takove okoli Ha bodu a, ze nekonecne mnoho clenu $a_n$ v nem nelezi.

Ukolem je prepsat tudle ekvivalenci a dokazat ji.

Kdyz jiteda prepisu tak:

$( \exists H_a)(\forall n_0)( \exists n>n_0)(a_n \not\in H_a) \Leftrightarrow$ <- tato cast je mi je vcelku jasna.. a dal: existuje takove okoli Ha bodu a - $( \exists H_a)$ ; a dalsi cast : ze nekonecne mnoho clenu $a_n$ v nem nelezi. Tak "v nem nelezi" bude opet $(a_n \not\in H_a)$ .
Otazka ale je, jak zapsat ze nekonecne mnoho clenu a_n? Pujde to primo tak jak je na zacatku? $(\forall n_0)( \exists n>n_0)$

Oxyd · 03. 11. 2010 23:28

Snad je to pokročilou hodinou večerní, ale jsem z tohohle zcela zmaten.

Za prvé si myslím, že uvedená ekvivalence neplatí. Zvolme například $a_n = 1$ pro každé n. Pak $\lim_{n \to \infty} a_n = 1$ , ale neexistuje žádné okolí jedničky, aby v jeho doplňku leželo nekonečně mnoho členů posloupnosti $\left(a_n\right)_{n=1}^{\infty}$ .

Za druhé, jak přesně jsi tu ekvivalenci přepsal? Vypadá to, že jsi limitu na levé straně přepsal na negaci její definice. Máš pravdu, že $(A \Leftrightarrow B) \leftrightarrow (\neg A \Leftrightarrow \neg B)$ , ale pokud tedy chceš ekvivalenci přepsat do tvaru $\neg A \Leftrightarrow \neg B$ , pak bys měl negovat i to B.

"Existuje nekonečně mnoho členů, že" můžeš vyjádřit tak, že existuje vybraná podposloupnost, že všechny její členy mají požadovanou vlastnost. Takže něco jako $\left(\exists \left(i_j\right)_{j=1}^{\infty}\right)\left(\forall j \in \bb{N}\right) \left( i_j < i_{j + 1} \;&\; a_{i_j} \,\text{ma jakousi vlastnost} \right)$ .

Můžeš prosím nějak dovysvětlit svůj příspěvek? Mám pocit, že mi uniká něco zásadního, ale vůbec nemůžu přijít na to co.

Keo · 03. 11. 2010 23:32

mas pravdu.. je hodne vecer.. hned na zacatku mam vcelku osudovou chybu :(.. uz sem to spravil

Oxyd · 03. 11. 2010 23:36 — Editoval Oxyd (03. 11. 2010 23:36)

↑ Keo:

A já si teď prozměnu uvědomil, že moje vyjádření nekonečně mnoha členů s danou vlastností je vlastně ekvivalentní vyjádření $\left( \forall n_0 \right)\left( \exists n > n_0 \right)\left( a_n \;\text{ma jakousi vlastnost}\right)$ . Takže ano, šlo by to tak.

Keo · 03. 11. 2010 23:39

Diky :)

Matematické Fórum

#1 03. 11. 2010 22:59 — Editoval Keo (03. 11. 2010 23:34)

Equivalence tvrzeni s limitama

#2 03. 11. 2010 23:28

Re: Equivalence tvrzeni s limitama

#3 03. 11. 2010 23:32

Re: Equivalence tvrzeni s limitama

#4 03. 11. 2010 23:36 — Editoval Oxyd (03. 11. 2010 23:36)

Re: Equivalence tvrzeni s limitama

#5 03. 11. 2010 23:39

Re: Equivalence tvrzeni s limitama

Zápatí