Matematické Fórum

NetFenix · 05. 11. 2010 09:09

Dobrý den, řeším teď příklady na dvojné integrály, ale mám trochu problémy s určováním mezí:

př1.:
$\int_{}^{}\int_{}^{}arctg(\frac{y}{x})dxdy$
na množině $M=\{(x,y)\in R, 1<=x^2+y^2<=4; 0<=y; y<=x}$

převedl jsem dó polárních souřadnic a vznikly mi meze takto:
$\int_{1}^{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}arctg(\frac{rsin\varphi}{rcos\varphi})rdrd\varphi=$
a dále upravil na tento tvar (mohu to takto upravovat? zdá se mi to totiž příliš snadné):
$\int_{1}^{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}arctg(tg\varphi)rdrd\varphi=$
$\int_{1}^{4}\int_{0}^{\frac{\pi}{4}}\varphi rdrd\varphi$ a z tohoto jsem to integroval dále...

př2.:
Zde nevím zda mám dobře určené meze:
$\int_{}^{}\int_{}^{}e^{x^2+y^2}dxdy$
na množině $M=\{(x,y)\in R,x^2+y^2<=1; 0<=x}$

převedl jsem dó polárních souřadnic a vznikly mi meze takto:
$\int_{0}^{1}\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}e^{r}drd\varphi$

Děkuji za radu, a ještě bych se rád zeptal na jednu věc; výpočet integrálu kontroluji pomoci programu Maple a nevíte, zda umí i vypočítat meze, popřípadě kde by byla na internetu nějaká ukázka, jak se to zadává. Kontrolu výpočtu integrálu provádím až na mezích, které já sám vypočtu a v momentě, kdy špatně určím meze, bude i integrál samozřejmě špatný, takže bych rád kontroloval i výpočet mezí.

Díky

Stýv · 05. 11. 2010 09:37 — Editoval Stýv (05. 11. 2010 09:38)

vnější meze patří k vnějšímu diferenciálu - ty to píšeš opačně. jinak první příklad vypadá správně. druhý by měl být $\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}e^{r^2}r\,drd\varphi$

NetFenix · 05. 11. 2010 09:43

Díky za odpověď,

Neměl bych u toho prvního teda taky přepsat ty meze?
A u toho druhého proč tam máš $r^{2}$

Stýv · 05. 11. 2010 10:08

Neměl bych u toho prvního teda taky přepsat ty meze?

měl, ta první věta se vztahuje na oba příkaldy

A u toho druhého proč tam máš $r^2$

protože $x^2+y^2=r^2$

NetFenix · 05. 11. 2010 10:16

Jejda já jsem blbý s tím $r^{2}$ .
Díky moc

NetFenix · 05. 11. 2010 12:06

Ještě jsem narazil na problém s jedním integrálem:

$\int_{}^{}\int_{}^{}\sqrt{1-x^2-y^2}dxdy$

$M = \{(x,y)\in R, x^2+y^2<=1, x>=0, y>=0}$

takže jsem došel k integrálu:

$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}\sqrt{1-r^2}r dr d\varphi$
ale nevím jak to zintegrovat, zkoušel jsem per-partes ale nějak jsem se zacyklil

Rumburak · 05. 11. 2010 12:27

↑ NetFenix:
Zkus substituci $1-r^2 = t$ .

NetFenix · 05. 11. 2010 13:12

no já to zkusil řešit takto:
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}\sqrt{1-r^2}r dr d\varphi$
udělal jsem per partes:

$u = r; u' = 1; v=?; v'=\sqrt{1-r^2}$

a v jsem dopočítával substitucí $t = 1-r^2$ :

$\int_{}^{}sqrt{t}dt = \frac{2}{3}(t)^{\frac{3}{2}} = \frac{2}{3}(1-r^2)^{\frac{3}{2}}$
ale když jsem to pro jistotu zpáky zderivoval, tak mi nevyšlo v'.

Rumburak · 05. 11. 2010 13:50

↑ NetFenix:
Neznám podrobnosti z Tvého výpočtu per partes, ale tato metoda zde není tou nejvýhodnější, zatímco
o substituci $t = 1-r^2$ si integrál $I(r)\,:=\int\sqrt{1-r^2}\,r\, \text{d} r$ přímo říká, neboť pak $r\, \text{d} r \,=\, - \frac{1}{2}\,\text{d} t$
a dostáváme $I(r)\,=\,- \frac{1}{2}\int sqrt{t}\,\text{d}t = - \frac{1}{2}\,\frac{2}{3}\,t^{\frac{3}{2}} = - \frac{1}{3}(1-r^2)^{\frac{3}{2}}$ (až na integreční konstantu) ,
derivováním se snadno přesvědčíme, že $I'(r)\,=\sqrt{1-r^2}\,r$ .

Honzc · 05. 11. 2010 13:58

↑ NetFenix:
Protože $r a \varphi$ jsou na sobě nezávislé můžeme psát:
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}\sqrt{1-r^2}r dr d\varphi=\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi\int_{0}^{1}\sqrt{1-r^2}r dr$
Potom
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}d\varphi=\frac{\pi}{2}$
$\int\sqrt{1-r^2}r dr=-\frac{1}{3}(1-r^2)^{\frac{3}{2}}$
$\int_{0}^{1}\sqrt{1-r^2}r dr=\frac{1}{3}$
a pak
$\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\int_{0}^{1}\sqrt{1-r^2}r dr d\varphi=\frac{\pi}{6}$