Matematické Fórum

gsdv · 05. 11. 2010 20:22

Zdravím,
brali jsme ve škole rozklad na parciální zlomky a vůbec jsem to nepochopila. Mám tady jeden vyřešený příklad, nemohl by mě to někdo na něm vysvětlit prosím??

http://www.sdilej.eu/pics/b2fa15252c950 … 95898e.JPG

jelena · 05. 11. 2010 20:42

↑ gsdv:

Zdravím,

jednou jsme vysvětlovali kolegyňce Simoně, mělo by to být dost přehledné - viz odkaz. (jinak je tady toho daleko více, zkus Hledat) nebo tady.

Rozděl si to dílčí problémy:

a) rozklad jmenovatele na součin,

b) sestavení jednotlivých zlomků podle toho jaký bude "parciální jmenovatel",

c) přivedení zlomků ke společnému jmenovateli,

d) řešení soustavy rovnic za účelem nalezení A, B, C...

A zkus upřesnit, který krok je opravdu problém. Děkuji.

gsdv

↑ jelena:

Jedna věc mě není jasná už v tom rozkladu jmenovatele (myslím ted ten svůj příklad). Tam ten rozklad vyšel $\frac{1}{x\cdot (x+1) \cdot (x^2+1)}$
a mě by zajímalo kde se vzalo $(x+1)$ protože když si vypočítám co mě vyšlo z toho Hornerova schémata $(x^2+1)$ tak mi vychází $\sqrt(-1)$ a nějak si nevybavuju co s tím.

Celkem jasný je mě tento rozklad $\frac{A}{x}+\frac{B}{x+1}+\frac{Cx+D}{x^2+1}$ a odsud dál už absolutně nevím jak se nahoře A, Bx, Cx+D něčím roznásobuje a jak se těm A, B, C, D určí nějaká hodnota to už fakt příliš.

Osvětlíš mi to trošku?

halogan: upraven TeX.

gsdv · 06. 11. 2010 12:16

↑ gsdv:

Nějak se mě nepovedl ten první výtvor v TeXu je to 1/ celý ten výraz

halogan · 06. 11. 2010 12:42

↑ gsdv:

Trochu se ztrácím v postupu, tak to vezmu nějak postupně. Můžeš se ptát na jednotlivé body.

1) Rozložíš jmenovatele na součin, co nejvíce to jde. To zde máš hotovo.

2) Proč $x^2 + 1$ dále (v R) nejde? Sama vidíš, že diskriminant nejde odmocnit (opět v R), a je z toho tedy zřejmé, že tato funkce nebude mít kořen, nejde tedy již dále rozložit.

3) Jak se potom rozkládá na jednotlivé zlomky s konstantami (A, B, ...), to si někde najdi, to zde vysvětlovat nebudu, není to zas tak složité, ale ani tak jednoduché.

4) Když máš takto rozloženo na jednotlivé zlomky, tak je opět složíš se společným jmenovatelem. Jmenovatele máš tedy stejného jak na začátku, musí se ti tedy i rovnat čitatel. Proto jej pokládáš roven jedničce.

---

Co z toho není jasné?

gsdv · 06. 11. 2010 13:49

↑ halogan:

2) tak když $x^2 + 1$ nejde rozložit tak odkud teda je $(x+1)$ ?
4) to už jsem pochopila ale pak jak určím ty konstanty A, B, C, D ?

halogan · 06. 11. 2010 13:58

↑ gsdv:

2) Nechápu otázku. $x+1$ je jeden z dělenců původního polynomu, takže jsme jej vytkli a rozkládali dále. Jde o klasický rozklad polynomu.

4) A, B, ... zjistíš na základě soustavy rovnic. Převedeš na společného jmenovatele, vytkneš $x$ , $x^2$ , ... a porovnáš žádoucí hodnoty s těmi konstantami. Říkám to trochu krkolomně, raději ukážu.

My ve jmenovateli máme $1$ . Takže to je $0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 1$ , že?

Podle rozkladu na parciální zlomky nám vyjde $(A+B+C)x^3 + (A+D+C)x^2 + \dots$ , z čehož vypozorujeme, že $A+B+C = 0$ atd.

gsdv · 06. 11. 2010 20:07

↑ halogan:

Tak už mě to asi došlo, než mě secvaknou všechny souvislosti to je doba. Díky za vysvětlení!!

halogan · 06. 11. 2010 22:16

↑ gsdv:

Dám ti jeden tip. Pokud se ti nechce řešit soustava, tak zatím zůstaň v tom porovnání čitatelů. Dám příklad. Mějme:

$A (x - 1)(x^2 + 1) + B(x+1)(x^2+1) + (Cx+D)(x+1)(x-1) = x$

Tak. Tohle se musí vždy rovnat. A zkus do toho teď dosadit 1 nebo -1. Pokaždé se ti zjednoduší ta rovnost a můžeš z toho dopočítat některé z těch konstant. Čím více nekomplexních kořenů, tím lépe.

Matematické Fórum

#1 05. 11. 2010 20:22

rozklad na parciální zlomky

#2 05. 11. 2010 20:42

Re: rozklad na parciální zlomky

#3 06. 11. 2010 12:14 — Editoval halogan (06. 11. 2010 12:37)

Re: rozklad na parciální zlomky

#4 06. 11. 2010 12:16

Re: rozklad na parciální zlomky

#5 06. 11. 2010 12:42

Re: rozklad na parciální zlomky

#6 06. 11. 2010 13:49

Re: rozklad na parciální zlomky

#7 06. 11. 2010 13:58

Re: rozklad na parciální zlomky

#8 06. 11. 2010 20:07

Re: rozklad na parciální zlomky

#9 06. 11. 2010 22:16

Re: rozklad na parciální zlomky

Zápatí