Matematické Fórum

Tom · 06. 11. 2010 19:39

Uz jsem to zapomnel:( jak se prosim pozna/ dokaze ze zadana fce je prosta? Ja mam tedy vzato, ze fce je prosta <=>, kdyz existuje k zadane fci fce inverzni, jak ale dokazu fci inverzni? Staci najiti predpisu pro inverzni fci? uvedu primo na priklade, ktery nejsem schopnej vyresit, mimojine na tomto webu jsem byl cca pred rokem a byla tu jeste takova uzitecna tabulka, ktera sazela znaky do texu podle operaci, to si jako clovek ma pamatovat ze napr ^ je mocnina? velka skoda...vzdycky to vygenerovalo obrazek, ktery se vkladal... netusim kam to zmizlo, k prikladu:

$(10^x - 10^-x /10^x + 10^-x)+1$ tamty velky cary to je minus a x je v mocnine... predem diky za vysvetleni---

Oxyd · 06. 11. 2010 19:45

Ta funkce vypadá takhle? $f(x) = \frac{10^x - 10^{-x}}{10^x + 10^{-x}} + 1$ ?

Každopádně, funkce je prostá pokud $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$ . Neboli se mi nestane, že mi dá stejný výsledek pro dva různé vstupy. Což je ekvivalentní tvé definici, že existuje inverzní funkce. S touhle definicí se ale podle mě líp pracuje pro určování prostoty funkce.

Zkus to podle téhle definice, kdyžtak se ozvi pokud to ani tak nepůjde.

Tom · 06. 11. 2010 19:54

vsak ja tu definici znam, dokonce jsem ji i vyse zminoval, ale nevim jak to dokazat, resp. jak ten hnusnej zlomek usporadat do neceho rozumnejsiho. Kdyby se to chtelo nekomu pocitat a pak sem hodit ofocenej postup, bylo by to k nezaplaceni :*

Oxyd · 06. 11. 2010 20:30

↑ Tom:

Já vím, že definici znáš, ale ta definice, kterous uvedl, je poměrně nešikovná pro řešení téhle úlohy. Moje definice by měla být šikovnější.

Ale dobře, nejdřív upravím ten zlomek:

$f(x) = \frac{10^x - 10^{-x}}{10^x + 10^{-x}} + 1 = \frac{10^x - \frac{1}{10^x}}{10^x + \frac{1}{10^x}} + 1 = \frac{\frac{10^{2x} - 1}{10^x}}{\frac{10^{2x} + 1}{10^x}} + 1 = \frac{10^{2x} - 1}{10^{2x} + 1} + 1 = \frac{2 \cdot 10^{2x}}{10^{2x} + 1} = f(x)$ .

Když budu pracovat podle mojí definice, tak si udělám rovnici

$f(x) = f(y)$
neboli
$\frac{2 \cdot 10^{2x}}{10^{2x} + 1} = \frac{2 \cdot 10^{2y}}{10^{2y} + 1}$

a budu se snažit zjistit, jestli všechna řešení jsou tvaru $x = y$ .

Začnu tím, že rovnici přenásobím součinem jmenovatelů zlomků na obou stranách

$2 \cdot 10^{2x} \left(10^{2y} + 1 \right) = 2 \cdot 10^{2y} \left(10^{2x} + 1 \right)$ -- podělím dvojkou a roznásobím závorky
$10^{2x + 2y} + 10^{2x} = 10^{2x + 2y} + 10^{2y}$ -- odečtu stejný člen od obou stran
$10^{2x} = 10^{2y}$

Exponenciální funkce je prostá, takže poslední rovnost implikuje $2x = 2y$ a odtud $x = y$ a máme dokázáno, že $f(x) = f(y) \Rightarrow x = y$ , což znamená, že f je prostá.

Tom · 07. 11. 2010 15:40

parada to mi staci, mooc lehke. Njn clovek rok nepocita a takovyhle triviality pak nesvede, dikas hele

Tom · 07. 11. 2010 16:38 — Editoval Tom (07. 11. 2010 16:47)

jeste pro kontrolu, je to opravdu takhle trivialni?=

dik

Oxyd · 07. 11. 2010 17:12

↑ Tom:

Vypadá to dobře.

Tom · 07. 11. 2010 18:09

Dik, jeste doplneni definicni obor inverzni fce, to mi jeste neni jasne:

jak to bude? dikas

Oxyd · 07. 11. 2010 18:45 — Editoval Oxyd (07. 11. 2010 18:47)

↑ Tom:

Definiční obor inverzní funkce je přesně obor hodnot původní funkce. Obor hodnot logaritmu jsou všechna reálná čísla, odečtením dvojky se na tom nic nezmění a umocněním na třetí také ne.

Kdybys to chtěl určit nějakým počítacím způsobem, tak buďto najít obor hodnot H(f) nebo najít inverzní funkci a podívat se, kde všude je definovaná. Tady je inverzní funkce $F^{-1}(x) = \exp \left( \sqrt[3]{x} + 2 \right) + 1$ , která je skutečně definovaná pro každé reálné číslo.

Tom · 08. 11. 2010 13:52 — Editoval Tom (08. 11. 2010 13:58)

Dik, takze jestli ti chapu, lze to resit dvojim zpusobem:

1. DF-1= HF, takze urcenim hf puvodni funkce je vlastne odpoved
2. Vyjadirt predpis inverzni funkce a jeji Df:

chapu spravne?

EDIT: jeste k tomu predpisu y= e^((x+2)1/3) + 1. Nebue nahodou Df= x>rovno2?

Oxyd · 08. 11. 2010 17:55

↑ Tom:

Tady pozor. f není prostá, takže nemá svém maximálním definičním oboru (všechna reálná čísla) inverzní funkci. (Například f(1) = f(-1) = 2.) Obor hodnot f navíc mají být všechna x, že $x \ge 1$ (f(0) = 1, takže jednička do oboru hodnot patří).

Pokud chceš najít nějakou inverzní funkci, pusíš prvně omezit definiční obor f, aby na novém definičním oboru byla f prostá. Například na intervalu $[0; +\infty)$ je f prostá a pro takhle omezenou f existuje inverzní fce $f^{-1}(x) = \sqrt{x - 1}$ s definičním oborem $[1; \infty)$ a oborem hodnot $[0; +\infty)$ .

EDIT: jeste k tomu predpisu y= e^((x+2)1/3) + 1. Nebue nahodou Df= x>rovno2?

Nebude. Třetí odmocnina je definována pro každé reálné číslo. (Narozdíl od druhé odmocniny.)

Tom · 08. 11. 2010 19:11

tak vsak to mam spravne ze df inverzni funkce k funkci x^2 je <1;plus nekonecno)....

Oxyd · 08. 11. 2010 19:14 — Editoval Oxyd (08. 11. 2010 19:25)

↑ Tom:

No za prvé tam máš (1, +oo), a za druhé inverzní funkce neexistuje.

Edit: Abych vysvětlil, jak je možné, že neexistuje, kdyžs ji přece „spočítal“: Přechod z třetího řádku odspoda k druhému odspoda je špatně: Nemůžeš z $y^2 = x - 1$ udělat $y = \sqrt{x - 1}$ . Správně je $|y| = \sqrt{x - 1}$ . Té absolutní hodnoty se teď už nezbavíš, takže funkci z toho nevyjádříš.

Matematické Fórum

#1 06. 11. 2010 19:39

Je fce prosta?

#2 06. 11. 2010 19:45

Re: Je fce prosta?

#3 06. 11. 2010 19:54

Re: Je fce prosta?

#4 06. 11. 2010 20:30

Re: Je fce prosta?

#5 07. 11. 2010 15:40

Re: Je fce prosta?

#6 07. 11. 2010 16:38 — Editoval Tom (07. 11. 2010 16:47)

Re: Je fce prosta?

#7 07. 11. 2010 17:12

Re: Je fce prosta?

#8 07. 11. 2010 18:09

Re: Je fce prosta?

#9 07. 11. 2010 18:45 — Editoval Oxyd (07. 11. 2010 18:47)

Re: Je fce prosta?

#10 08. 11. 2010 13:52 — Editoval Tom (08. 11. 2010 13:58)

Re: Je fce prosta?

#11 08. 11. 2010 17:55

Re: Je fce prosta?

#12 08. 11. 2010 19:11

Re: Je fce prosta?

#13 08. 11. 2010 19:14 — Editoval Oxyd (08. 11. 2010 19:25)

Re: Je fce prosta?

Zápatí