Matematické Fórum

vysoka · 08. 11. 2010 12:42

$\lim_{n\to\infty}\left(n\cdot(\ln(n+1)-\ln(n-2))\right).$

0
1
2
3
PI
nekonecno

vyslo mi podiel logaritmov kedze je tam minus ... a to je pri n iducom do nekonecna rovna 1 a tak ln 1 sa rovna 0 , avsak neviem ci su to legalne upravy lebo vyzera ze je t o nespravne

Rumburak · 08. 11. 2010 14:30

Upravíme: $b_n\,:=\left(n\cdot(\ln(n+1)-\ln(n-2))\right)\,=\,n\cdot\ln \frac{n+1}{n-2}\,=\,\ln$\frac{n+1}{n-2}$^n$ .

Vypočteme-li limitu $a \,:=\,\lim_{n\to\infty}\,$\frac{n+1}{n-2}$^n$ , pak ke hledané limitě $\lim_{n\to\infty}\,b_n$

snadno dospějeme úvahami o limitě složené funkce.

vysoka · 08. 11. 2010 14:37

takze tu limitu a: musime priviest podla zakladnyh vztahov k e .... a ln je inverzna fcia k e...

Rumburak · 08. 11. 2010 14:45

↑ vysoka:
Ano.

vysoka · 08. 11. 2010 17:28 — Editoval vysoka (08. 11. 2010 20:16)

ak so mdobre pocita ltak to bude e na (n**2-2n)/3 takze to bude e na nekonecno ? co je rovne 0 , a ked z toho spravime ln tak je to Ma Error :)

vysoka · 08. 11. 2010 20:17

ale vsak limita exiistuje ... tak potom kde je chyba

vysoka · 08. 11. 2010 21:40

takze som sa dopatral ze vysledok je 3 ...ale neviem presne ako sme h odostali

Rumburak

Tak podrobněji:

$b_n\,:=n\cdot$\ln(n+1)-\ln(n-2)$\,=\,n\cdot\ln \frac{n+1}{n-2}\,=\,\ln$\frac{n+1}{n-2}$^n$

... tato úprava využívá pouze základních vlastností obecné logaritmické funkce.

Dále:

$a_n\,:=$\frac{n+1}{n-2}$^n \,=\,$\frac{n-2+3}{n-2}$^n \,=\,$1\,+\,\frac{3}{n-2}$^n\,=\,$1\,+\,\frac{3}{n-2}$^{n-2}\cdot\,$1\,+\,\frac{3}{n-2}$^{2}$ .

Odtud je zřejmé, že

$a\,=\,\lim_{n\to\infty}\,a_n = \text{e}^{\,3}$ a $\lim_{n\to\infty}\,b_n \,=\, \lim_{n\to\infty}\,\ln\,a_n\, =\,\ln\,$\,\lim_{n\to\infty}\,a_n$\,=\,\ln\,\text{e}^{\,3}\,=\,3$ .

Záměna pořadí limity a logaritmu je přípustná na základě spojitosti logaritmu v bodě $a$ .

Ale jak jsi k výsledku dospěl Ty , to ani já nevím. :-)

vysoka · 11. 11. 2010 09:35

dostal som sa k vysledku tak, ze som skusal postupne vsetky moznosti a ked mi dalo sparvne pri 3 , tak som bol happy , aj ked som za to samozrejme ziskal zlomok bodov co som mohol ziskat kedze so mto nezaskrtol na prvy krat spravne ... :) a este bola odpoved PI teda to je blizke 3, takze niekoho aj to mohli nabadat ze to niekde tam bude sa pohybovat :) diky za pomoc

Matematické Fórum

#1 08. 11. 2010 12:42

limita s prirodz logaritmom

#2 08. 11. 2010 14:30

Re: limita s prirodz logaritmom

#3 08. 11. 2010 14:37

Re: limita s prirodz logaritmom

#4 08. 11. 2010 14:45

Re: limita s prirodz logaritmom

#5 08. 11. 2010 17:28 — Editoval vysoka (08. 11. 2010 20:16)

Re: limita s prirodz logaritmom

#6 08. 11. 2010 20:17

Re: limita s prirodz logaritmom

#7 08. 11. 2010 21:40

Re: limita s prirodz logaritmom

#8 09. 11. 2010 09:25 — Editoval Rumburak (09. 11. 2010 09:30)

Re: limita s prirodz logaritmom

#9 11. 11. 2010 09:35

Re: limita s prirodz logaritmom

Zápatí