Matematické Fórum

NetFenix · 11. 11. 2010 10:11

Zdravím, mám problém při řešení integrálu, protože mi tam vychází stále záporný logaritmus, přesto však když příklad zadám do maplu, tak ho spočte v pohodě, ale když pak dělám postupné integrace, tak se shodují s mým postupem, tak nevím...

Zadání:
$\int_{}^{}\int_{}^{}\int_{}^{}\frac{1}{1-x-y}dxdydz, M=<0,1>x<2,5>x<2,4>$
Můj postup:
$\int_{0}^{1}\int_{2}^{5}\int_{2}^{4}\frac{1}{1-x-y}dzdydx = \int_{0}^{1}\int_{2}^{5}[\frac{z}{1-x-y}]_{z=2}^{z=4}dydx =$
$\int_{0}^{1}\int_{2}^{5}[\frac{2}{1-x-y}]dydx = \int_{0}^{1}[2ln(1-x-y)]_{y=2}^{y=5}dx =$
$\int_{0}^{1}2ln(1-x-5)-2ln(1-x-2)dx$ ....
a nakonec mi tam už stejně ten zápor zůstane

A ještě jsem se chtěl zeptat jak určovat meze u trojných integrálů, když mám třeba množinu:
$M={x>=0,y>=0, z>=0, x+y+z<=1}$
Tak spodní meze budou nuly to je asi jasný, a teď ty horní mi vychází z té poslední podmínky:
z = 1-x-y
y = 1-x-z
x = 1-y-z
což asi není na první pohled dobře... Díky za rady

Rumburak

Jádrem úlohy je vypočítat integrál $\,J:=\int\int_{A}\frac{\text{d}x\text{d}y}{1-x-y}$ , kde $A=[0,\,1]\times[2,\,5]$ .
Integrovaná funkce nabývá na množině A pouze záporných hodnot, proto integrál bude mít zápornou hodnotu.

Ale pozor na to, že primitivní funkce k funkci $f(t) = \frac{1}{c-t}$ je $-\ln |c-t|$ (v libovolném intervalu neobsahujícím bod $[c]$ ).

Ke druhému dotazu:
Možina M by správně po formální stránce měla být vyjádřena takto:
$M=\{[x,y,z]\in\mathb{R}^3\,;\, x\ge \,0 \,\wedge\, y\ge 0 \,\wedge \,z\ge0 \,\wedge \,x+y+z\le 1\}$ .

Ten přechod od vícerozměrných integrálů k méněrozměrným by měl být vysvětlen v kapitole o Fubiniově větě - možných způsobů,
jak postupovat, je více.

Ukážeme si jednu možnost.
V prvé řadě si určíme kolmý průmět množiny M do některé souřadnicové rovniy. Volbu té souř. roviny provádíme s ohledem na
početní výhodnost, což ale zde nebude hrát roli, protože podmínka určující množinu M je vzhledem k proměnným x,y, z symetrická.
Zvolme si tedy třeba rovinu "xy" a hledejme kolmý průmět množiny M do této roviny. Pomocí určité geometrické představivosti
a volby z = 0 snadno zjistíme, že hledaným průmětem je množina

$T=\{[x,y]\in\mathb{R}^2\,;\, x\ge \,0 \,\wedge\, y\ge 0 \,\wedge \,x+y\le 1\}$ .

Volbou bodu [x, y] této množiny a z podmímek na body množiny M obržíme podmínku $0 \le z \le 1-x-y$ pro hodnoty souřadnice "z".

Fubiniova věta pak dává

$\int\int\int_M ... \,\text{d}x\text{d}y\text{d}z = \int\int_T$ \int_0^{1-x-y}... \text{d}z$\text{d}x\text{d}y$

a analogicky dále.

99 · 11. 11. 2010 11:20 — Editoval 99 (11. 11. 2010 11:25)

zapoměl si na - (mínus) po integraci dy
$\int_{0}^{1}\int_{2}^{5}[\frac{2}{1-x-y}]dydx = - \int_{0}^{1}[2ln(1-x-y)]_{y=2}^{y=5}dx =$
$\int_{0}^{1}2ln(1+x)-2ln(4+x)dx$
$\=20*ln(2)-10*ln(5)$

NetFenix · 11. 11. 2010 11:33

↑ 99:
Jo to jsem zapoměl na to mínus, ale stejně nechápu jak tam dostat to 2ln(1+x)-2ln(4+x)... přece když dosazuju za y=5 a y=2 tak dostanu 2ln(1-2) - 2ln(1-5)