Matematické Fórum

Martin · 13. 10. 2007 14:14

Ahoj,
dostal jsem na cvičení úkol, který musím splnit a zatím jen tápu. Vůbec netuším, co skládání funkcí znamená.
Zadání v úlohe: Tvořte složené funkce z funkcí u=√(1+x), v=x², w=tgx a určete jejich definiční obory. Učitel dotal, a? udělám alespoň čtyři.
Jak se skládají funkce? Nebo co potřebuji vědět k vyřešení této úlohy? Díky moc. Jdu dál číst scripta : )

jelena · 13. 10. 2007 15:15

http://cs.wikipedia.org/wiki/Skl%C3%A1d … unkc%C3%AD -

Slozene funkce se tvori tak, ze ji postupne zabaluji jednu do druhe, treba:

z = sin y, y = x² , slozena funkce z = sin (x²)

Ve tvem pripade ale jednotlive funkce maji stejny argument x, tak bych take tapala, jak je mam balit do sebe.
Bud nekdo posle moudrejsi radu nebo - nechtel pan ucitel pouze soucet funkci?
A varianta cislo 2 - nechtel z jednotlivych funkci vyjadrovat x a tvorit funkce typu u(w)? V tomto pripade opravdu velky pozor na definicni obory a na podminky pro moznost vyjadreni.

Lishaak · 13. 10. 2007 15:58

Tak ja to zkusim vysvetlit po svem. Podle meho mineni je zcela jedno, jak se ta ktera funkce oznaci, nebo jak se oznaci promenna v ni. Slozit se daji jakekoliv dve funkce. (Ve smyslu realnych funkci jedne realna promenne).

Funkce se skladaji tak, ze na vysledek funkce jedne pustim jeste funkci druhou. Priklad

f: y = 3x
g: y = x*x

Chci li tyto dve funkce slozit, nejprve si vyberu poradi. ja si vyberu poradi g(f(x)). Tedy nejprve spocitam funkci f(x) a potom tuto hodnotu dosadim do funkce g(x). Tak dostanu novou funkci, kterou si oznacim h(x). Plati potom h(x) = g(f(x)). Jeste nazorneji:

Funkce f vlastne nasobi svuj argument tremi. Tedy pro par hodnot vypada takto:

1 -> 3
2 -> 6
3 -> 9
4 -> 12
5 -> 15
atd.

Funkce f zobrazuje jednicku na trojku, dvojku na sestku atd. Funkce g zase dela toto:

1 -> 1
2 -> 4
3 -> 9
4 -> 16
5 -> 25
atd.

Chceme-li funkce f a g slozit delame vlastne toto:

1 -> 3 -> 9
2 -> 6 -> 36
3 -> 9 -> 81
4 -> 12 -> 144
atd.

Tedy spociteme funkci f a na jeji vysledek pustime funkci g. Tak nam vznikne funkce h, ktera dela toto:

1 -> 9
2 -> 36
3 -> 81
4 -> 144

atd.

Jeji zapis pak vypada takto h: y = 3x*3x. Udelali jsme to tak, ze jsme vlastne do funkce g(x) za promennou x dosadili funkci f(x) (proto je vhodne, aby se ty promenne jmenovali ruzne, aby se nam namichalo x z funkce f s ixem z funkce g).

Samozrejme jsme tyto funkce mohli zkusit slozit v opacnem poradi. Doporucuju si to vyzkouset jako jednoduche cviceni...

jelena · 13. 10. 2007 18:15

http://www.fp.tul.cz/kmd/lide/finek/MA1/Cviceni2.pdf , priklad 6 - tady to mame, pan vyucujisi dosazuje za x co se da a pak se bude divit, ze derivace slozene funkce bude v ocich studentu vyvolavat takovou hruzu. Souhlasit se s tim absolutne neda, ale to je asi vsechno, co mohu udelat.

Pokud je potreba splnit cviceni, dodrzuj postup, ktery nastolil pan vyucujici v prilozenem materialu :-(

Martin · 13. 10. 2007 18:38

Ahoj,
ten příklad přesně sedí, jak jste ho dohledal(a)?

Jestli jsem to dobře pochopil, tak pak po mě chce pan učitel něco takového?

u(v(w(x))) = √(1+tg²x)
w(v(u(x))) = tg (x+1)
v(w(u(x))) = tg² (√(x+1)
u(w(v(x))) = √(1+tgx²)
v(u(w(x))) = 1+tgx

plus definiční obory.

jelena · 13. 10. 2007 19:14

Martin napsal(a):
Ahoj,
ten příklad přesně sedí, jak jste ho dohledal(a)?

Google :-) a to na prvni pokus. Myslim, ze slozene funkce jsou vytvoreny spravne.

Martin · 13. 10. 2007 19:42

Sedím teď nad definičními obory, ale nemohu na to stále přijít, nemohli byste mě opět navést? Dík

jelena · 13. 10. 2007 21:14 — Editoval jelena (13. 10. 2007 21:15)

Hledani definicnich oboru musime zamerit na vyrazy pod odmocnicnou - musí byt vetsi nebo rovne 0 a na tg x, ktery neni definovan pro x = PI/2 + k*PI.

Treba pro 1. vytvorenou funkci (1+tg²x) musi byt vetsi nebo rovno 0, coz je splneno pro kazde cislo z oboru realných cisel, musi vsak byt vylouceny x = PI/2 + k*PI.

Dalsi funkce - zde (x+1) nesmi byt PI/2 + k*PI.

A tak pokracuj:-) Pokud nepujde, tak se ozvi.

Martin · 15. 10. 2007 16:40

Ahoj,
tak jsem nad tim přemýšlel (né sám) a nějak se nám to nedaří dát dohromady.

u(v(w(x))) = √(1+tg²x) - D(f) = R - {x=π/2 - kπ/2, k je ze Z}
w(v(u(x))) = tg (x+1) - D(f) = R - {x=π/2 - kπ/2 - 1, k je ze Z}
v(w(u(x))) = tg² (√(x+1)
u(w(v(x))) = √(1+tgx²)
v(u(w(x))) = 1+tgx - D(f) = R - {x=π/2 - kπ/2, k je ze Z}

poradíte mi s těmi zbejvajícími? Hlavně mě zajímá, jak jste na ty ostatní přišli. Je ty stávající definiční obory tak, jak jsem je uvedl, správné? Dík

jelena · 15. 10. 2007 23:21

Nevim, proc pises periodu pro tg kπ/2, to je zrejme preklep, ma tam byt pouze kπ (koukni, jak to zapisuje nas vzor z Liberce:-)

jinak jsem nad tim přemýšlela (sáma) a asi tak:

u(v(w(x))) = √(1+tg²x) , D(f) = R - {x=π/2 +kπ, k je ze Z}
tady je duvodem pouze definicni obor pro tg, výraz pod odmocninou je vetsi nez 0 pro kazde x, jelikoz je to soucet kladneho cisla a druhe mocniny.

w(v(u(x))) = tg (x+1), D(f) = R - {x=π/2 + kπ - 1, k je ze Z} - tady je duvodem pouze definicni obor pro tg

v(w(u(x))) = tg² (√(x+1) tady mame vyraz pod odmocninou (musi byt kladny) a definicni obor pro tg
x+1 => 0 ^ x nesmi byt π/2 + kπ
x => -1 ^ x nesmi byt π/2 + kπ

u(w(v(x))) = √(1+tg(x²)) D(f) = R - {x=π/2 +kπ, k je ze Z} - to je pro tg,
k tomu jeste pridame vyraz pod odmocninou 1+tg(x²)=> 0 tg(x²)=> -1

v(u(w(x))) = 1+tgx D(f) = R - {x=π/2 + kπ, k je ze Z} - to je OK

Kondr · 16. 10. 2007 09:44

Jen u druhé fukce bych varoval, že
$tg(\sqrt{x+1}^2)\not \equiv tg(x+1)$ .
Rovnost mezi funkcemi platí tam, kde jsou obě definované, ale každá má jiný definiční obor.
Druhá, jak správně uvádíš, má D(f) = R - {x=π/2 + kπ - 1, k je ze Z} .
Pro první (a to je ta, co nás zajímá) ale musí být navíc x>-1.

jelena · 16. 10. 2007 10:15

Kondr napsal(a):
Jen u druhé fukce bych varoval, že
$tg(\sqrt{x+1}^2)\not \equiv tg(x+1)$ .
Rovnost mezi funkcemi platí tam, kde jsou obě definované, ale každá má jiný definiční obor.
Druhá, jak správně uvádíš, má D(f) = R - {x=π/2 + kπ - 1, k je ze Z} .
Pro první (a to je ta, co nás zajímá) ale musí být navíc x>-1.

Souhlasim,
uslo mi, jak vlastne ta funkce vznikla - bylo tam umocneni, ktere odstranilo odmocninu, dekuji za opravu a zdravim :-)

Matematické Fórum

#1 13. 10. 2007 14:14

Složené funkce

#2 13. 10. 2007 15:15

Re: Složené funkce

#3 13. 10. 2007 15:58

Re: Složené funkce

#4 13. 10. 2007 18:15

Re: Složené funkce

#5 13. 10. 2007 18:38

Re: Složené funkce

#6 13. 10. 2007 19:14

Re: Složené funkce

Martin napsal(a):

#7 13. 10. 2007 19:42

Re: Složené funkce

#8 13. 10. 2007 21:14 — Editoval jelena (13. 10. 2007 21:15)

Re: Složené funkce

#9 15. 10. 2007 16:40

Re: Složené funkce

#10 15. 10. 2007 23:21

Re: Složené funkce

#11 16. 10. 2007 09:44

Re: Složené funkce

#12 16. 10. 2007 10:15

Re: Složené funkce

Kondr napsal(a):

Zápatí