Matematické Fórum

Měsíček · 20. 11. 2010 20:51

Pěkný večer vám všem přeji,
pomohli byste mi, prosím, s vyřešením těchto příkladů? Pokusil jsem se s nimi poprat sám, ale částečně neúspěšně u prvních dvou a naprosto neúspěšně u ostatních. Potřeboval bych, jestli byste mi vysvětlili princip, jak tyto úlohy řešit. Konečné výsledky mám.

1. Vzdálenost tětivy od středu kružnice je 6 cm, příslušný středový úhel má velikost 60 stupňů. Vypočítejte obsah kruhové výseče.

(Zde jsem to vypočetl víceméně sám, ovšem výsledkem je přesně 8pí a já mám 7,9pí... takže by mě spíše zajímalo, jak tuto úlohu řešit obecně. Dělal jsem to tak, že jsem si vypočetl tu stranu, která symbolizuje poloměr kružnice, pomocí cosinu 30 stupňů. a to pak dosadil do vzorce pro kruhovou výseč, tedy úhel*pí*r*r/360 a vyšlo mi to co mi vyšlo...)

2. Vypočítejte poloměr kružnice, jejíž délka je o 7cm větší než obvod pravidelného šestiúhelníku, který je této kružnici vepsán.

(Zde jsem se snažil udělat rovnici, ze které bych poté vyjádřil poloměr. Přibližně něják takto 2*pí*r + 7 = 6*((sin30*r)*2) ovšem vyšla mi naprostá blbost.)

3. Do kružnice je vepsán čtyřúhelník ABCD tak, že poměr délek oblouků AB, BC, CD, DA je 2 : 3 : 3 : 4. Vypočítejte velikosti jeho vnitřních úhlů a poměr délek jeho stran.

4. Trojúhelník ABC má obvod 100cm, jemu podobný trojúhelník A'B'C' má strany o 8cm, 14cm, 18cm větší, než jsou strany trojúhelníku ABC. Vypočítejte délky stran obou trojúhelníků.

5. Odvěsna pravoúhlého rovnoramenného trojúhelníku má délku 4cm. Vypočítejte obsah obrazce ohraničeného kružnicí trojúhelníku vepsanou a kružnicí trojúhelníku opsanou.

(U těchto 3 posledních příkladů si nevím vůbec rady...)

Děkuji již dopředu za námahu a za pomoc!

Chrpa · 20. 11. 2010 20:58

↑ Měsíček:
2)
$2\pi\,r-6r=7$
pro délku strany pravidelného šestiúhelnku platí, že je stejná jako
poloměr kružnice opsané tomuto šestiúhelníku (což je náš případ)

zdenek1 · 20. 11. 2010 21:01

↑ Měsíček:

$\frac xr=\cos30^o=\frac{\sqrt3}2$

Protože 60° je šestina plného úhlu 360°, bude obsah výseče roven 1/6 obsahu kružnice
$S_{vysece}=\frac16\pi r^2=\frac16\pi\left(\frac{2x}{\sqrt3}\right)^2$

zdenek1 · 20. 11. 2010 21:25

↑ Měsíček:
5) Střed kružnice opsané je ve středu přepony a poloměr je polovina přepony $R=2\sqrt2$ (přeponu vypočítáš z Pyth. věty)
TAkže obsah kružnice opsané je $S_o=\pi R^2=8\pi$

Potřebujeme poloměr kružnice vepsané $r$ .

Z obrázku je $8-2r=4\sqr2$ (přepona)
$r=4-2\sqrt2$
$S_v=\pi r^2=\pi(24-16\sqrt2)$

$S=S_o-S_v=8\pi-\pi(24-16\sqrt2)=16\pi(\sqrt2-1)$

BakyX · 20. 11. 2010 21:28 — Editoval BakyX (20. 11. 2010 22:37)

3. Pre dĺžku kružnicového oblúku platí

$d=\frac{\pi r}{180}.uhol$ ,

kde uhol je vlastne príslušný stredový uhol oblúku. Označme stredové uhly po rade ako uhly štvoruholníka s čiarou a dajme do pomeru dĺžky oblúkov:

$2:3:3:4=\frac{\pi r}{180}.\alpha':\frac{\pi r}{180}.\beta':\frac{\pi r}{180}.\gamma':\frac{\pi r}{180}.\delta'\nl 2:3:3:4=\alpha':\beta':\gamma':\delta'$

Vidíme, že pomer dĺžok oblúkov je rovný pomeru veľkosti stredových uhlov. Na základe toho, že súčet týchto uhlov je 360, učíme ich veľkosti:

$\alpha'=60^\circ$ $\beta'=90^\circ$ $\gamma'=90^\circ$ $\delta'=120^\circ$

Označme si v štvoruholníku stred kružnice opísanej S. SA=SB=SC=SD. V trojuholník ASB, BSC, CSD, DSA vieme vypočítať vnútorne uhly na základe jedného uhla a rovnoramennosti. Na základe týchto uhlom vidíme, že:

$\alpha=90^\circ$ $\beta=105^\circ$ $\gamma=90^\circ$ $\delta=75^\circ$

Stred strany AB označme P. Keďže stred kružnice opísanej leží na priesešníku osí strán, tak trojuholník APS je pravouhlý s pravým uhlom pri vrchole P. Keďže trojuholník ABS je rovnoramenný, tak uhol ABS je úsečkou PS rozdelený na dve polovice. Vyjadríme sínus tohto uhla:

$sin(\frac{\alpha'}{2})=\frac{a}{2r}\nl a=2r.sin(\frac{\alpha'}{2})$

Ostatné strany dostaneme analogicky. Dáme ich do pomeru:

$a:b:c:d=2r.sin(\frac{\alpha'}{2}):2r.sin(\frac{\beta'}{2}):2r.sin(\frac{\gamma'}{2}):2r.sin(\frac{\delta'}{2})\nl a:b:c:d=sin(\frac{\alpha'}{2}):sin(\frac{\beta'}{2}):sin(\frac{\gamma'}{2}):sin(\frac{\delta'}{2})$

Dosadíš, vypočítaš sínusy a máš výsledok. Rozumieš postupu ?

BakyX · 20. 11. 2010 21:33 — Editoval BakyX (20. 11. 2010 22:17)

4. Ak sú trojuholníky podobné, tak pre ich strany platí:

$\frac a a'=\frac b b'=\frac c c'=k- \hspace{2}koeficient \hspace{2} podobnosti$

Strany a', b', c' sú strany väčšieho podobného trojuholníka. Z hornej rovnosti sa da vyvodiť, že:

$a'=a.k\nl b'=b.k\nl c'=c.k$

V zadaniu máme vyjadrené strany podobného trojuholníka pomocou strán menšieho trojuholníka:

$a+8=a.k\nl b+14=b.k\nl c+18=c.k$

Sčítame všetky tri rovnice:

$a+b+c+40=a.k+b.k+c.k\nl a+b+c+40=k(a+b+c)\nl k=\frac{o+40}{o}$

Dosadíš, dopočítaš strany oboch trojuholníkov a máš výsledok

Měsíček · 20. 11. 2010 22:29

Chrpa & zdenek1 & BakyX

Velice vám děkuji za pomoc a za čas, až na druhou část 3. př. doufám, že jsem vše pochopil, takže ještě jednou díky!

BakyX · 20. 11. 2010 22:36

↑ Měsíček:

Druhú časť 3. som opravil

Měsíček · 20. 11. 2010 22:47

Ještě to v tom stále nevidím, vzhledem k tomu, že výsledek podle učebnice (poměry stran) je *1:*2:*2:*3 (kde * značí odmocninu).

BakyX · 21. 11. 2010 11:28

$a:b:c:d=sin(\frac{\alpha'}{2}):sin(\frac{\beta'}{2}):sin(\frac{\gamma'}{2}):sin(\frac{\delta'}{2})\nl a:b:c:d=sin(30):sin(45):sin(45):sin(60)\nl a:b:c:d=\frac{1}{2}:\frac{\sqrt{2}}{2}:\frac{\sqrt{2}}{2}:\frac{\sqrt{3}}{2}\nl a:b:c:d=1:\sqrt{2}:\sqrt{2}:\sqrt{3}$

Chrpa · 21. 11. 2010 11:59 — Editoval Chrpa (23. 11. 2010 09:39)

↑ Měsíček:
Obrázek napoví?

Pro výpočet délek stran čtyřúhelníku použij kosinovou větu (popřípadě větu starého Pythágora)

BakyX · 21. 11. 2010 12:54

↑ Chrpa:

Môj postup je zlý, keď tu dávaš tvoj ? Ďakujem za odpoveď..Inak..Pekný obrázok skutočne

Chrpa · 21. 11. 2010 13:58 — Editoval Chrpa (21. 11. 2010 14:03)

↑ BakyX:
Ne Tvůj postup není špatný.
Jen jsem reagoval na větu: "Ještě to v tom stále nevidím,....... ", proto jsem sem dal ten obrázek,
ze kterého je to lépe vidět.

Měsíček · 21. 11. 2010 16:12

Tak už ano :), ještě jednou díky za pomoc!

Matematické Fórum

#1 20. 11. 2010 20:51

Geometrické úlohy

#2 20. 11. 2010 20:58

Re: Geometrické úlohy

#3 20. 11. 2010 21:01

Re: Geometrické úlohy

#4 20. 11. 2010 21:25

Re: Geometrické úlohy

#5 20. 11. 2010 21:28 — Editoval BakyX (20. 11. 2010 22:37)

Re: Geometrické úlohy

#6 20. 11. 2010 21:33 — Editoval BakyX (20. 11. 2010 22:17)

Re: Geometrické úlohy

#7 20. 11. 2010 22:29

Re: Geometrické úlohy

#8 20. 11. 2010 22:36

Re: Geometrické úlohy

#9 20. 11. 2010 22:47

Re: Geometrické úlohy

#10 21. 11. 2010 11:28

Re: Geometrické úlohy

#11 21. 11. 2010 11:59 — Editoval Chrpa (23. 11. 2010 09:39)

Re: Geometrické úlohy

#12 21. 11. 2010 12:54

Re: Geometrické úlohy

#13 21. 11. 2010 13:58 — Editoval Chrpa (21. 11. 2010 14:03)

Re: Geometrické úlohy

#14 21. 11. 2010 16:12

Re: Geometrické úlohy

Zápatí