Matematické Fórum

harryharry · 21. 11. 2010 20:10

Dobrý den,

Prosím o pomoc s následujícími příklady. Většinou ztroskotám na exponenciální rovnici.

1) Vyjádřete rekurentně - a] (0,5)^n b] (n^2)
pozn. - Zde prosím o podrobné rozepsání, na netu jsem toto téma nikde pořádně nenašel, převod opačný (tj rekurentní -> ntý) mi také dělá problémy :-(

2) Dokažte matematickou indukcí
a)
$\frac{1}{1*2}+ \frac{1}{2*3}+..... + \frac{1}{n*(n+1)}=\frac{n}{n+1}$
pozn. - zde postupuji tak, že si do pravé části rovnice a do posledního členu levé části rovnice dosadím n a poté n+1; poté sečtu 1L + 2P ; 2L + 1P a upravím do stejného tvaru. Je to tak? Bohužel mi to nevychází.
b)
$2^0+2^1+2^2 +...+2^n =2^{n+1} - 1$

Děkuji za jakoukoliv pomoc.

Mythic · 21. 11. 2010 20:22 — Editoval Mythic (21. 11. 2010 20:23)

1)no... nejvetsi problem v tomto je, ze zadny presny navod neexistuje a vetsina vzorcu pro n-ty clen ma hned nekolik moznosti zapisu rekurentne... musis si uvedomit vlastnosti a na zaklade toho zkusit ten predpis udelat sam... pak jej overis dosazenim nekolika clenu (popripade dukazem) a hotovo...

a) (1/2)n -> zkus si vypsat prvnich par clenu - takze by to bylo 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, ... cislo ve jmenovateli kazdeho clenu se zvetsuje vzdy dvojnasobne. Neni tedy nic lehciho, nez kazdy predchozi clen nasobit (1/2) :) ... Dal musis zvolit takovy prvni clen, aby posloupnost fungovala... V pripade, ze pro n-ty clen jsi mel n (1;+oo), tvuj prvni clen bude 1/2

b)zkus sam a napis postup kdyby ses zadrhnul ;-)

Mythic · 21. 11. 2010 20:42

Dukaz matematickou indukci ma dva kroky.

I. overis zda-li vyrok (ciselna rada) plati pri nejmensi prirozene cislo tedy vezmes prvni clen rady 1/(1*2) a clen za rovnitkem dosadis za n=1. Vychazi. Takze se muze prejit k indukci.

II. Za predpokladu, ze plati tento krok pro cislo k vetsi nebo rovne 1 ( to je ta jednicka co si zkousel), pak musi platit i pro kazde k+1.
co to tedy vlastne znamena? -> tz jsi dokazal ze ta rada plati az po nejake k, ale ted musis overict ze kdyz na n dosadis k+1, tak to bude platit taky.
Takze vemes vysledek za puvodni radu az po k: k/(k+1) a prictes novy clen z rady kde za n dosadis k+1: 1/((k+1)*(k+2)) a sectes je.
Pokud ti vyjde prava strana s tim ze za n v prave strane dosadis k+1 - pak je dukaz pravdivy.

cily:

$k/(k+1) + 1/((k+1)*(k+2))$ = .... v idealnim pripade ti po secteni a vykraceni vyjde $(k+1)/(k+2)$ .

Druhy priklad je analogicky. Zkus ho a kdyz se nekde zadrhnes, dej vedet.

harryharry · 22. 11. 2010 21:15

Díky za odpověď :-)

2) - Mat. indukce

a) pochopil jsem, zjednodušení stačí říct, že po splnění podmínek stačí sečíst pravou stranu 1. rovnice s levou částí 2. rovnice, výsledek musí být roven pravé straně 2. rovnice - tj. (k+1)/(k+2)
b) zadrhnu se ve fázi, kdy mám sečíst 2^(n+1) + 2^(n+2) - 1

1) rekurentní zápis

a) už jsem na to přišel, doteď jsem dával předchozí člen na druhou, ale on se předchozí člen dává na entou :-)))
tj. - a1=1/2 ; an=[a(n-1)]*1/2 ? :-)
b) - a1=1 an=[(an-1)^2] ?

Matematické Fórum

#1 21. 11. 2010 20:10

Posloupnost, indukce

#2 21. 11. 2010 20:22 — Editoval Mythic (21. 11. 2010 20:23)

Re: Posloupnost, indukce

#3 21. 11. 2010 20:42

Re: Posloupnost, indukce

#4 22. 11. 2010 21:15

Re: Posloupnost, indukce

Zápatí