Matematické Fórum

miso16211

V obdlžniku ABCD kde /AB/= 8 cm, /BC/= 4 cm, sú body EFGH stredy strán AB, BC, CD, DA, a bod T je stred usečky GH. Vypočítaj obsah trouholníka EFT.

Moje čiastočne riešenie je: 1. vypočitam si cez pytagorovu vetu základnu(EF) trouholnika
2. potrebujem vyšku trouholnika - a to je už ten moj problem

Ďakujem za všetko, čim mi pomôžete.
P.S.- nie je to olympiada ani nič ine, ja si riešim minuloročne prijmace skúšky na stredne školy a toto som nevedel.

Vysledok by mal vyjsť 8 cm na 2

BakyX · 27. 11. 2010 19:33 — Editoval BakyX (27. 11. 2010 20:22)

↑ miso16211:

Ahoj..Ja by som to videl skôr na použitie Heronovho vzorca.

Stred AE označ napríklad X. |TX|=|AD|-|AD|/4, |XE|=|AB|/4 => Vyjadríš si dĺžku |TE|.

Stred CF označ napríklad Y. |YF|=|AD|/4, |TY|=|AB|-|AB|/4 => Vyjadríš si dĺžku |TF|.

Dĺžku EF si už vyjadril.

Teraz alebo použiješ herónov vzorec, alebo si pomocou kosínovej vety vypočítaš kosínus uhla, zistiť sínus uhla a dosadíš do vzorca pre obsah trojuholníka pomocou dvoch strán a uhlu nimi zovretom.

Všeobecný vzorec:

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

BakyX · 27. 11. 2010 20:47 — Editoval BakyX (27. 11. 2010 20:49)

Práve som si všimol, že je to pre ZŠ, kde sa kosínova veta neučí..Tak teda inak:

Ako vypočítať TE som už napísal. EF vypočítať vieš. Uhol XET označme $\alpha$ . Uhol BEF označme $\beta$ . Uhol FET označme $\gamma$ .

Vieme, že platí:

$cos(\alpha)=\frac{|XE|}{|TE|}$ a $cos(\beta)=\frac{|EB|}{|EF|}$ , teda:

$\alpha=cos^{-1}(\frac{|XE|}{|TE|})$ a $\beta=cos^{-1}(\frac{|EB|}{|EF}|)$ . Zároveň platí:

$\alpha+\beta+\gamma=180$ , teda $\gamma=180-cos^{-1}(\frac{|XE|}{|TE|})-cos^{-1}(\frac{|EB|}{|EF|})$

Vieme teda vypočítať uhol $\gamma$ . Teraz použijeme vzorec pre obsah trojuholníka:

$S=\frac{1}{2}ab.sin(\gamma)=\frac{1}{2}ac.sin(\beta)=\frac{1}{2}bc.sin(\alpha)$ (odvodenie dole)

Teda:

$S_{\Delta EFT}=\frac{1}{2}.|ET|.|EF|.sin(180-cos^{-1}(\frac{|XE|}{|TE|})-cos^{-1}(\frac{|EB|}{|EF|})$

Ak niečomu nerozumieš, pýtaj sa.

miso16211

neviem prečo bod T keď je v strede HG prečo je aj v 3/4 AD

2.- da sa to inak počitať keď si vypočitam cez pytagorovu vetu stranu TE a uhol gama (kedže uhol alfa aj betu si vypočitam ako si naznačil)
vznikne mi pravouhly trouholnik TEZ kde Z je bod spajajuci vyšku trouholníka vypočitam cez goniometricke funkcie vyšku a mam to

BakyX · 27. 11. 2010 21:14 — Editoval BakyX (27. 11. 2010 21:17)

↑ miso16211:

Dá sa..Práve na základe toho je ten vzorec $S=\frac{1}{2}ab.sin(\gamma)=\frac{1}{2}ac.sin(\beta)=\frac{1}{2}bc.sin(\alpha)$ .

Platí:

$v_a=b.sin(\gamma)$

$S=\frac{1}{2}a v_a=\frac{1}{2}a b . sin(\gamma)$

Tá vec ohľadom HG vyplíva z podobnosti. Keby si spravil cez T kolmicu na AD, pretne ti úsečku AD v bode napríklad P, že platí:

$|PD|=|PH|$ .

Keby bol bol T v 2/3, tak úsečku |DH| takáto kolmica rozdelí v pomere 2:3, ak mi rozumieš.

Honzc · 28. 11. 2010 11:00

↑ BakyX:
Proč tak složitě?
Podívej se na obrázek a je to jasné. (jenom je potřeba si uvědomit, že je-li T v polovině GH, jsou jeho souřadnice
xT=4/2=2 a yT=2+2/2=3)
S=S(XBYT)-S(XET)-S(EBF)-S(FYT)=6*3-2*3/2-4*2/2-6*1/2=18-3-4-3=18-10=8

Matematické Fórum

#1 27. 11. 2010 17:01 — Editoval miso16211 (27. 11. 2010 19:43)

obsah trouholníka

#2 27. 11. 2010 19:33 — Editoval BakyX (27. 11. 2010 20:22)

Re: obsah trouholníka

#3 27. 11. 2010 20:47 — Editoval BakyX (27. 11. 2010 20:49)

Re: obsah trouholníka

#4 27. 11. 2010 21:08 — Editoval miso16211 (27. 11. 2010 21:08)

Re: obsah trouholníka

#5 27. 11. 2010 21:14 — Editoval BakyX (27. 11. 2010 21:17)

Re: obsah trouholníka

#6 28. 11. 2010 11:00

Re: obsah trouholníka

Zápatí