Matematické Fórum

Cherru · 27. 11. 2010 21:04

Dobrý den. Moc prosím o pomoc s vyřešením těchto dvou příkladů. Nevím si s nimi rady :/

1) Zjistěte, zda body M[-4;1], N[-3;-2] jsou vnitřními body trojúhelníku ABC, A[-7;-3], B[5;1], C[-2;4].

2) Vypočítejte obsah čtverce, jehož rovnoběžné strany leží na přímkách daných rovnicemi 2x-6y+18=0, x-3y-1=0.

Chrpa · 28. 11. 2010 11:35 — Editoval Chrpa (28. 11. 2010 21:19)

↑ Cherru:
1) Napadá mě toto řešení
Vzhledem k souřadnicím bodů A,B,C,M,N
Určit velikost úhlů BAC, BAM, CAN (pomocí vektorové algebry- odchylka 2 přímek)a potom:
a) BAC > BAM bod M leží uvnitř ABC
b) BAC < BAM bod M neleží uvnitř ABC
c) BAC > CAN bod N leží uvnitř ABC
d) BAC < CAN bod N neleží uvnitř ABC

2)
a) Na přímce 2x-6y+18=0 zvolit bod A např: A(0; 3)
b) určit vzdálenost bodu A od přímky x-3y-1=0 (pomocí vzdálenosti bodu od přímky)
Tato vzdálenost bude stranou čtverce a
Obsah čtverce je a^2

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Cherru · 28. 11. 2010 22:03

Děkuji moc! Zkusím to.

Cheop · 29. 11. 2010 10:44 — Editoval Cheop (30. 11. 2010 14:27)

↑ Cherru:
1)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

2)

Autor skryl část textu. Zobrazit/skrýt!

Rumburak

↑ Cherru:

Ad 1. - anylyticky:

Bod X je vnitřním bodem trojúhelníka ABC , právě když existují čísla

(0) $a,b,c \,\in \,(0,\,1)$

taková, že

(1) $a\,+\,b \,+\, c\, = \,1$ ,
(2) $aA\,+\,bB \,+\, cC\, = \,X$ .

Rovnici (2), do níž dosadíme buďto X = M nebo X = N, rozepíšeme po souřadnicích na dvě rovnice, k tomu přidáme rovnici (1).
Takto vzniklou soustovu o třech neznámých a, b, c vyřešíme a ověříme, zda je splněna podmínka (0).

Ad 2. Zbývající dvě strany čtverce jsou tedy kolmými příčkami k daným přímkám a jejich délky jsou rovny vdálenosti d těchto přímek.
Číslo d tedy vyjadřuje délku strany čtverce, jehož obsah počítáme. K výpočtu čísla d můžeme přímo použít vzorec pro vzdálenost
dvou rovnoběžek, ale metoda popsaná od kolegů je také správná.

Cheop · 29. 11. 2010 11:56

↑ Rumburak:
Tak jsem se zase něco přiučil
Toto jsem opravdu neznal.
Díky.

Rumburak

↑ Cheop:

Ještě naznačím, jak se k tomu dojde:

Body X úsečky AB jsou vyjádřeny rovnicí $X = A + t (B-A)$ pro $t \,\in \,[0,\,1]$ , volba t = 0 resp. t = 1 dá X=A resp. X = B ,
takže vnitřní body ús. AB máme pro $t \,\in \,(0,\,1)$ . Onu rovnici přepíšeme do tvaru $X = (1-t)A + tB$ a položíme s = 1 - t.
Úsečka AB je tedy popsána rovnicí $X = sA + tB$ pro $s, t \,\in \,[0,\,1]$ splňujíící $s\,+\,t \, = \,1$ , její vnitřní body dostaneme pro
$s, t \,\in \,(0,\,1)$ . Odtud snadno odvodíme popis trojúhelníku ABC (resp. jeho vnitřku) na obdobném principu.
Viz Konvexní kombinace .

Cheop · 29. 11. 2010 14:21 — Editoval Cheop (29. 11. 2010 14:23)

↑ Rumburak:
Jak jednoduché když víš jak..... a trochu přemýšlení k tomu
Můj postup
1) Napadá mě toto řešení
Vzhledem k souřadnicím bodů A,B,C,M,N
Určit velikost úhlů BAC, BAM, CAN (pomocí vektorové algebry- odchylka 2 přímek)a potom:
a) BAC > BAM bod M leží uvnitř ABC
b) BAC < BAM bod M neleží uvnitř ABC
c) BAC > CAN bod N leží uvnitř ABC
d) BAC < CAN bod N neleží uvnitř ABC
není jak vidíš obecný, ale pouze vycházející z náčrtku.

Rumburak · 29. 11. 2010 14:48

↑ Cheop:
Ano, vyjádřit trojúhelník jako průnik dvou úhlů a pak zkoumat polohu bodu M resp. N vůči těmto úhlům, to samozřejmě také je možné,
navíc velmi přirozené. Ale přísnější kantor by v analytické geometrii nemusel odvolávky na obrázek hodnotit pozitivně - soudím tak
přinejmenším podle zkušeností s naší matikářkou na gymplu.

Cheop · 29. 11. 2010 15:00

↑ Rumburak:
No já měl analytickou geometrii cca
před 37 lety taky na gymplu.
Už si ani nepamatuji, jak jsme to tenkrát řešili.

Rumburak

↑ Cheop:
My jsme na gymplu v AG konvexnost obrazců neprobírali. Zda jsme na tuto úlohu narazili, to také už nevím. Odhaduji, že bychom to nejspíše
řešili vyjádřením trojúhelníka jako průniku třech polorovin. Důležitou roli při tom hraje nádledující úvaha:

Nechť $f_{A,B}(x,y) \,=\,0$ je pevně zvolená obecná rovnice přímky AB . Do její levé strany postupně dosadíme souřadnice bodu C a bodu M .
Jestliže obě takto získaná čísla $f_{A,B}(x_C,y_C)$ , $f_{A,B}(x_M,y_M)$ jsou nenulová a mají stejná znaménka, potom body C, M leží
uvnitř téže z obou polorovin vyťatých přímkou AB, a naopak .

Matematické Fórum

#1 27. 11. 2010 21:04

Úlohy v rovině

#2 28. 11. 2010 11:35 — Editoval Chrpa (28. 11. 2010 21:19)

Re: Úlohy v rovině

#3 28. 11. 2010 22:03

Re: Úlohy v rovině

#4 29. 11. 2010 10:44 — Editoval Cheop (30. 11. 2010 14:27)

Re: Úlohy v rovině

#5 29. 11. 2010 11:30 — Editoval Rumburak (29. 11. 2010 16:09)

Re: Úlohy v rovině

#6 29. 11. 2010 11:56

Re: Úlohy v rovině

#7 29. 11. 2010 13:36 — Editoval Rumburak (29. 11. 2010 13:42)

Re: Úlohy v rovině

#8 29. 11. 2010 14:21 — Editoval Cheop (29. 11. 2010 14:23)

Re: Úlohy v rovině

#9 29. 11. 2010 14:48

Re: Úlohy v rovině

#10 29. 11. 2010 15:00

Re: Úlohy v rovině

#11 29. 11. 2010 15:49 — Editoval Rumburak (29. 11. 2010 16:46)

Re: Úlohy v rovině

Zápatí