Matematické Fórum

xmartasek · 02. 12. 2010 17:03

prosím nevím si rady s tímto integrálem potřebuju pomoc děkuji
meze od 0 do 2pí
$sqrt (2(1-cosx))$

jelena · 02. 12. 2010 21:05

↑ xmartasek:

Zdravím, upravila bych podle vzorce pro dvojnásobný úhel $\cos x=cos^2$\frac{x}{2}$-\sin^2$\frac{x}{2}$$ .

Co navrhují online nástroje z úvodního červeně vybarveného tématu sekce VŠ? Děkuji.

xmartasek · 03. 12. 2010 11:00

díky takže ten vzorec hodín místo toho cos x pod tu odmocninu a umocním to jo? pak normálně z integruju a dosadím meze

Marian · 03. 12. 2010 11:09

↑ xmartasek: Připomněl bych snad jen, že bude zapotřebí také tzv. goniometrické jedničky, zde ve tvaru

$\sin ^2\left (\frac{x}{2}\right )+\cos ^2\left (\frac{x}{2}\right )\equiv 1,\qquad\qquad\forall x\in\mathbb{R}$ .

Po úpravě výrazu pod odmocninou dostaneš pouze druhou mocninu. Je třeba pamatovat na to, že platí $\sqrt{V}=|V|$ , kde $V$ je nějaký smysluplný výraz. Potom vhodně začít počítat integrál.

xmartasek · 03. 12. 2010 11:32

můžete mi to tady prosím nějak rozepsat moc tomu nerozumím děkuji :)

xmartasek · 03. 12. 2010 11:48

$sqrt2\int_a^b (1-cos x/2 - sin x/2 dx$
bude to takhle ?
meze $(0,2pi)$

jelena · 03. 12. 2010 11:54

↑ Marian: děkuji.

↑ xmartasek: nahraď ve svém zadání zatím všechno, co bylo doporučeno - část je provedena (ale "velmi nedobře"), ještě:

ještě nahrazení (1) pod odmocninou:

$\sin ^2\left (\frac{x}{2}\right )+\cos ^2\left (\frac{x}{2}\right )\equiv \boxed{1},\qquad\qquad\forall x\in\mathbb{R}$

místo toho, co je v odpovídajícím rámečku: $\sqrt{2$\boxed{1}-\cos x$}$ a uprav si výraz pod odmocninou.

Potom se zaměřiš, zda při odmocňování bude nutné použit absolutní hodnotu, jak doporučuje vážený kolega Marian, děkuji.

Cheop · 03. 12. 2010 11:57 — Editoval Cheop (03. 12. 2010 12:33)

↑ xmartasek:
Obrázek napoví ?

jelena · 03. 12. 2010 12:13

↑ Cheop: děkuji a zdravím.

Kolegyňka se má především srovnat s postupem odmocňování - to se nepovedlo ↑ xmartasek:.

xmartasek · 03. 12. 2010 12:46

$sqrt2 sqrt((sinx/2)^2+ (cosx/2)^2 - cosx)$ asi to bude takhle že :D...mi matika moc nejde tak se nezlobte

a co pak s tím - cos x?

jelena · 03. 12. 2010 12:59

místo cos(x) dosadit ještě toto:

$\cos x=cos^2$\frac{x}{2}$-\sin^2$\frac{x}{2}$$

Já se nezlobím, neb podle váženého kolegy Mariana působím kultivovaně (optimista, однако)

Cheop · 03. 12. 2010 13:20 — Editoval Cheop (03. 12. 2010 14:27)

↑ xmartasek:
Ne je to takto:
$\sqrt{2(1-\cos\,x})=\sqrt{2(1-(\cos^2\left(\frac x2\right)+\sin^2\left(\frac x2\right))}=\sqrt{2(2\sin^2\left(\frac x2\right))}=2\,\left|\sin\left(\frac x2\right)\right|$

jelena · 03. 12. 2010 13:40

↑ Cheop: děkuji :-) kolegyňka je na VŠ, snad by mohla něco provést samostatně.

V souladu s doporučením ↑ Marian: je třeba diskutovat, zda po odmocnění by neměl být zápis v absolutní hodnotě. Myslím si, že pokud ještě před odmocněním provedu substituci (x/2)=t a změním meze integrování, tak už bych nemusela psát do absolutní hodnoty.

Ovšem v úpravě výrazu absolutní hodnota má být použita.

Rumburak

↑ xmartasek:

Ze soustavy rovnic

$cos^2$\frac{x}{2}$-\sin^2$\frac{x}{2}$=\cos x$
$cos^2$\frac{x}{2}$+\sin^2$\frac{x}{2}$= 1$

(když je sečteme resp. odečteme první od druhé) snadno odvodíme

$2\,\cos^2$\frac{x}{2}$\,=\,1+\cos x$ , $2\,\sin^2$\frac{x}{2}$\,=\,1-\cos x$ .

Ovšem chci-li na některý z posledních vztahů aplikovat druhou odmocninu, musím mít na paměti, že pro reálné $V$ je obecně $\sqrt{V^2} = |V|$
(zatímco vztah $\sqrt{V^2} = V$ platí jen tehdy, když $V\ge0$ ). Obdobně, je-li $V$ výraz pro reálnou funkci. Na toto úskalí upozornil již
kolega ↑ Marian:, ale v příslušném vzorci mu vypadl exponenent 2 , což mohlo někoho zmást.

EDIT. Názor kolegyně Jeleny ↑ jelena: na odstranění absolutní hodnoty už v tom integrálu přihlédnutím k integračním mezím je správný,
dokonce i kdybychom tu substituci neprovedli.