Matematické Fórum

leniczcha · 15. 04. 2008 21:54

Je dán trojúhelník ABC s vrcholy A [1,-1], B [4,2], C [2,-6]. Obecná rovnice přímky obsahující výšku vb je?

Lishaak · 15. 04. 2008 22:04

Navod: chce to najit rovnici primky, ktera je kolma na stranu 'b' a prochazi bodem B. Takze nejdriv najdeme smernici 'k' te kolme primky. K tomu nam staci smernice 's' te primky obsahujici stranu 'b'. Pro tyto smernice plati vztah k = -1/s. Jakmile mame 'k', mame vyhrano. Rovnize bude mit tvar y=kx+q. Cislo 'q' dopocteme snadno, nebot vime, ze primka musi prochazet bodem B.

Ginco · 15. 04. 2008 22:06 — Editoval Ginco (15. 04. 2008 22:27)

↑ leniczcha:

Obecná rovnice přímky obsahující v_b, to je to samé jako obecná rovnice výšky v_b
Víme, že výška v_b je spuště na z bodu B[4;2] a má stejný vektor, jako má přímka AC normálový vektor( kolmý na směrový)

tedy směrový vektor AC :
$\vec{s}=\vec{AC}$
$\vec{s}=(1;-5)$ to je směrový vektor přímky procházející body A a C
$\vec{n}=(5;1)$ to je normálový vektor přímky A a C

obecná rovnice výšky tedy bude :
$5x+y+c= 0$
dosadím za x,y souřadnice bodu B
$20+2+c=0$
$c=-22$

Obecná rovnice výšky v_b tedy bude : $5x+y-22= 0$

Ginco · 15. 04. 2008 22:10

↑ Lishaak:

pokud vím, tak obecná rovnice přímky je : $ax+by+c=0$ nikoliv $y=kx+q$ toto je směrnicový tvar přímky ne?

leniczcha · 15. 04. 2008 22:14

Mělo by to vyjít:

x - 5y + 6 = O

Jorica · 15. 04. 2008 22:19 — Editoval Jorica (15. 04. 2008 22:22)

↑ Ginco:

je tam jedna nepresnost...smerovy vektor AC ti vysel (1; -5). Protoze hledana vyska v_b je kolma na smerovy vektor AC je vektor (1; -5) jejim vektorem normalovym...takze ten radek o jedno niz je chybny.

jelena · 15. 04. 2008 22:21 — Editoval jelena (15. 04. 2008 22:23)

↑ Ginco:

Drobna poznamka: smernicovy vektor AC je zaroven normalovym vektorem vysky - tedy neni nutne nejak upravovat, ale rovnou pouzit do obecne rovnice vysky. Souhlasis?

Editace: drobna poznamka uz byla udelena, tak ta moje je zbytecna - rusim :-)

Jorica · 15. 04. 2008 22:22 — Editoval Jorica (15. 04. 2008 22:30)

Z texem si nerozumim, zkusim to po tobe opravit, to bych mohla zvladnout ;-)

směrový vektor AC :
$\vec{s}=\vec{AC}$ to je směrový vektor přímky a soucasne to je normálový vektor hledane vysky v_b
$\vec{s}=(1; -5)$

obecná rovnice výšky tedy bude :
$x-5y+c= 0$
dosadím za x,y souřadnice bodu B
$4-10+c=0$
$c=6$

Obecná rovnice výšky v_b tedy bude : $x-5y+6= 0$

Jorica · 15. 04. 2008 22:24

↑ Ginco:

to mas pravdu, ze normalovy vektor AC je smerovy vektor vysky v_b, ale do obecne rovnice potrebujes normalovy vektor vysky a ne vektor smerovy. Je to zamotane, co? ;-)

Ginco · 15. 04. 2008 22:25

↑ Jorica:

dobrý už to chápu

lauralee · 22. 04. 2008 21:05

Nevím si rady s tím, jak vyjádřit z obecné rovnice přímky parametrický tvar. Vím, že je to lehké, ale neznám ten správný vzorec.
Příklad: Přímka p je dána obecnou rovnicí 2x + 5y - 6 = 0. Vyjádřete přímku p parametrickými rovnicemi. Poradíte někdo, prosím?
Díky

Fabo · 22. 04. 2008 21:16

V prvom rade si vyjadris normalovy vektor : n = (2,5). Z neho ziskas smerovy: s = (5,-2).

Teraz potrebujes este suradnice jedneho bodu priamky, napr pre y=0 bude bod A[x;0] s x=3. Ked poznas smerovy vektor a bod, je to uz lahke.

x=3+5t
y=-2t kde t patri R

aritentd

k zjisteni bodu lze take pouzit usekovy tvar
$\frac x3+\frac y2=1$
$Px=[3;0];Py=[0;2]$

editace fabo: mas pravdu, pocital sem z 2x + 3y - 6 = 0

pro 2x + 5y -6 = 0

$\frac x3+\frac y{\frac65}=1$

Fabo · 22. 04. 2008 21:26

Bavime sa o tej istej priamke? Lebo [0,2] jej nepatri...

lauralee · 22. 04. 2008 21:32

Díky moc, už to chápu.

lauralee · 22. 04. 2008 22:54

Jsou dány body A[0;1], B[5;6]. Na ose x určete takový bod M, aby přímky AM a BM byly na sebe kolmé.

aritentd · 22. 04. 2008 23:31

hledany bod $M=[m;0]$ (y=o pak lezi na ose x)
vychazime z vlastnosti kolmych vektoru, jejich skalarni soucin je roven nule
$\vec{a}=\vec{AM}=(m;-1)$
$\vec{b}=\vec{BM}=(m-5;-6)$
$\vec{a}\cdot\vec{b}=0$
$m\cdot(m-5)+6=0$
$(m-2)\cdot(m-3)=0$
$m_1=2$ $m_2=3$
body M budou dva
$M=[2;0]$ a $M=[3;0]$

lauralee · 23. 04. 2008 19:15

Je dán bod A [3;2;-1] a rovina 2x-y+z+7=0.
a) Určete vzdálenost bodu A od roviny.
b) Určete souřadnice bodu A´, který je souměrně sdružený s bodem A podle roviny.

lauralee · 23. 04. 2008 19:18

↑ aritentd: díky moc za výpočet :-)

aritentd · 23. 04. 2008 20:37

jedno z moznych reseni, doufam ze spravne ;)
$\vec{n}=(2;-1;1)$ normalovy vektor roviny je smerovy vektor primky na rovinu kolme, napiseme tedy parametricke vyjadreni primky kolme na rovinu a obsahujici bod A
$p: x=3+2k$
$y=2-k$
$z=-1+k ; k\in{R}$
najdeme prusecik teto primky a roviny dosazenim do obecne rovnice roviny
$2\cdot(3+2k)-2+k-1+k+7=0$
$k=-\frac53$
prusecik ziskame dosazenim do parametricke rce primky
$x=3-2\cdot\frac53 \Rightarrow x=-\frac13$
$y=2+\frac53 \Rightarrow y=\frac{11}{3}$
$y=-1-\frac53 \Rightarrow y=-\frac{8}{3}$
$P=[-\frac13;\frac{11}{3};-\frac{8}{3}]$
ted muzeme vypocitat vzdalenost bodu P a A, coz je i vzdalenost bodu A od roviny
$V=\sqrt{(-\frac13-3)^2+(\frac{11}{3}-2)^2+(-\frac83+1)^2}=\frac{5\sqrt6}{3}$
bod A' ziskame posunutim bodu P o vektor $\vec{AP}$
$P+(P-A)=[-\frac13;\frac{11}{3};-\frac{8}{3}]+[-\frac{10}{3};\frac53;-\frac53]=[-\frac{11}{3};\frac{16}{3};-\frac{13}{3}]$
$A'=[-\frac{11}{3};\frac{16}{3};-\frac{13}{3}]$

lauralee · 23. 04. 2008 22:28

Je dán trojúhelník ABC, A [1;3], B[-3;0], C[4;-2].
Najděte souřadnice vrcholů trojúhelníka A´B´C´, který je obrazem trojúhelníka ABC ve středové souměrnosti se středem v těžišti T trojúhelníka ABC.

aritentd · 24. 04. 2008 16:07

za prve bych si zjistil teziste, napriklad jako prusecik dvou teznic.
$S_{bc}=[\frac12;-1];S_{ab}=[-1;\frac32]$
$\vec{AS_{bc}}=S_{bc}-A=(-\frac12;-4)$
$\vec{CS_{ab}}=S_{ab}-C=(-5;\frac72)$
$AS_{bc}: x=1-\frac12k ; y=3-4k$
$CS_{ab}: \frac72x+5y-4=0$
$\frac72-\frac74k+15-20k-4-0$
$k=\frac{58}{87}$
$P=[1-\frac{58}{174};3-\frac{4\cdot58}{87}]=[\frac23;\frac13]$
ted staci body posunout o prislusny vektor
$A'=T+\vec{AT}=[\frac23;\frac13]+[-\frac13;-\frac83]=[\frac13;-\frac73]$
$B'=T+\vec{BT}=[\frac23;\frac13]+[\frac{11}{3};\frac13]=[\frac{13}{3};\frac23]$
$C'=T+\vec{CT}=[\frac23;\frac13]+[-\frac{10}{3};\frac73]=[-\frac83;\frac83]$

lauralee · 24. 04. 2008 19:52

Je dán bod K[2;3;0] a přímka p: x=-3-2t, y=-12-3t, z=1+t, t náleží R.
a) Určete vzdálenost bodu K od přímky p.
b) Určete souřadnice bodu K´, který je souměrně sdružený s bodem K podle přímky p.

aritentd · 24. 04. 2008 20:04

a) pokud nechces pouzit vzorecek na vzdalenost bodu a primky, muzes vztycit kolmici na primku p ktera obsahuje bod K a najit prusecik P s primkou p, pote zjistujes vzdalenost pruseciku a bodu K
b) posunuti pruseciku P o $\vec{KP}$

lauralee · 24. 04. 2008 20:36

↑ aritentd: dobře, děkuju

Matematické Fórum

#1 15. 04. 2008 21:54

Analytická geometrie

#2 15. 04. 2008 22:04

Re: Analytická geometrie

#3 15. 04. 2008 22:06 — Editoval Ginco (15. 04. 2008 22:27)

Re: Analytická geometrie

#4 15. 04. 2008 22:10

Re: Analytická geometrie

#5 15. 04. 2008 22:14

Re: Analytická geometrie

#6 15. 04. 2008 22:19 — Editoval Jorica (15. 04. 2008 22:22)

Re: Analytická geometrie

#7 15. 04. 2008 22:21 — Editoval jelena (15. 04. 2008 22:23)

Re: Analytická geometrie

#8 15. 04. 2008 22:22 — Editoval Jorica (15. 04. 2008 22:30)

Re: Analytická geometrie

#9 15. 04. 2008 22:24

Re: Analytická geometrie

#10 15. 04. 2008 22:25

Re: Analytická geometrie

#11 22. 04. 2008 21:05

Re: Analytická geometrie

#12 22. 04. 2008 21:16

Re: Analytická geometrie

#13 22. 04. 2008 21:21 — Editoval aritentd (22. 04. 2008 21:43)

Re: Analytická geometrie

#14 22. 04. 2008 21:26

Re: Analytická geometrie

#15 22. 04. 2008 21:32

Re: Analytická geometrie

#16 22. 04. 2008 22:54

Re: Analytická geometrie

#17 22. 04. 2008 23:31

Re: Analytická geometrie

#18 23. 04. 2008 19:15

Re: Analytická geometrie

#19 23. 04. 2008 19:18

Re: Analytická geometrie

#20 23. 04. 2008 20:37

Re: Analytická geometrie

#21 23. 04. 2008 22:28

Re: Analytická geometrie

#22 24. 04. 2008 16:07

Re: Analytická geometrie

#23 24. 04. 2008 19:52

Re: Analytická geometrie

#24 24. 04. 2008 20:04

Re: Analytická geometrie

#25 24. 04. 2008 20:36

Re: Analytická geometrie

Zápatí