Matematické Fórum

pizet · 06. 12. 2010 12:48

Úložka:

Nech $a,b,c,d$ sú také reálne čísla, že $a \neq 0$ a $b^2 > 3ac$ . Predpokladajme, že rovnica $ax^3 + bx^2 +cx + d = 0$ má tri rôzne korene, ktoré tvoria airitmetickú postupnosť. Dokážte, že ich aritmetický priemer je rovný airtmetickému priemeru koreňov rovnice $3ax^2 + 2bx + c = 0$ .

Moje riešenie:

čo vieme ...
$x_1 < x_2 < x_3 \nl x_2 - x_1 = x_3 - x_1 \nl \frac{x_1+x_2+x_3}{3} = x_2 = \frac{x_1+x_3}{2}$

vieme aj, že
$\frac{-b}{a} = x_1 + x_2 + x_3 \nl \frac{-b}{a} = x_1 + \frac{x_1+x_3}{2} + x_3 \nl \frac{-b}{a} = \frac{3(x_1+x_3)}{2} \nl \frac{-b}{3a} = x_2$

a teda ...
$3ax^2 + 2bx + c = 0 \nl x_{1,2} = \frac{-2b \pm \sqrt{D}}{6a}$

$\frac{-b}{3a} = \frac{\frac{-2b + \sqrt{D}}{6a} + \frac{-2b + \sqrt{D}}{6a}}{2} \nl \frac{-b}{3a} = \frac{\frac{-2b}{6a}+\frac{-2b}{6a}}{2} \nl \underline{\frac{-b}{3a} = \frac{-b}{3a}}$

Je to ok?

Ako by som to mohol pomocou diferenciálneho počtu?

Je ťažké dokázať základnú vetu algebry? Lebo celé som to robil s tým, že platí.

Za odpovede veľmi pekne ďakujem :).

Olin · 07. 12. 2010 15:46

Myslím, že je to správně. Technický detail: zápis $x_1<x_2<x_3$ znamená, že tato tři čísla jsou reálná, což však ze zadání úlohy být nemusí (lze však poměrně snadno ukázat, že ani jeden z kořenů nemůže být komplexní).

Diferenciálního počtu by při řešení využít šlo takto: jelikož kořeny tvoří aritmetickou posloupnost, lze polynom zapsat jako $a(x-w+\delta)(x-w)(x-w-\delta)$ , kde w je "prostřední" kořen. Označme tento polynom P. Je patrné, že $P(w-x) = P(w+x)$ pro všechna reálná x, graf funkce P je tedy osově souměrný podle přímky $x = w$ . Protože je $P(w) = P(w+\delta) = 0$ , někde na intervalu $(w, w+\delta)$ musí mít kořen i první derivace (jelikož tam je lokální extrém), která je shodou náhod $3ax^2 + 2bx + c$ . Stejně tak musí mít první derivace i kořen na $(w-\delta, w)$ , ovšem díky symetrii grafu jsou tyto kořeny stejně daleko od w, takže je jejich aritmetický průměr w.

Základní věta algebry je různě těžká podle toho, jak přesně ji formulujeme (můžeme se pohybovat v komplexních číslech, nebo také v libovolném tělese), ale asi vždy je na to potřeba nějaká vysokoškolská matika.

pizet · 07. 12. 2010 17:06

↑ Olin: Aha, díkes, už tej metóde pomocou dif. počtu rozumiem.

Tak, neznášam, keď na dokázanie niečoho čo pužívam treba vysokoškolskú matiku. Je toho tak veľa a je takmer nereálne to všetko stíhať :(.

Organizuješ PraSa? Máte tam výborný seriál o TeXu a tak isto aj študijné materiály. ;)

Olin · 07. 12. 2010 21:36

Se středoškolskou matematikou je trochu problém v tom, že je v mnoha ohledech založena na intuici, tím pádem pokud by se měla dělat "pořádně", začala by dost připomínat tu vysokoškolskou. Vždyť taková nevinná věc jako umocňování reálných čísel vyžaduje dost vysokoškolského přístupu, aby to bylo korektní.

PraSe organizuji, díky za pochvalu :-)

Matematické Fórum

#1 06. 12. 2010 12:48

Vietove vzťahy

#2 07. 12. 2010 15:46

Re: Vietove vzťahy

#3 07. 12. 2010 17:06

Re: Vietove vzťahy

#4 07. 12. 2010 21:36

Re: Vietove vzťahy

Zápatí