Matematické Fórum

manolka · 10. 12. 2010 18:49

Dobrý den,

chtěla jsem se zeptat, mám souřadnice bodu A a bodu B a vzorec pro výpočet směrového vektoru je s= B - A, tak když mám souřadnice bodu K a L, tak směrový vektor vypočítám s = L - K ? Řídí se to nějakým pravidlem? Myslím to od kterého bodu se odčítá. Kdybych měla např body GH, tak by to bylo s = H - G?

Děkuji za odpověď.

Oxyd · 10. 12. 2010 19:01

Ahoj, je to jedno. Každá přímka má nekonečně mnoho směrových vektorů.

manolka · 12. 12. 2010 21:01

To jako že je jedno, jestli budu počítat s=B - A nebo s=A - B?

Oxyd · 12. 12. 2010 21:20

Přesně tak.

Ty vektory jsou k sobě opačné -- tzn. B - A ukazuje na přesně opačnou stranu než A - B. To taky znamená, že jsou rovnoběžné. To znamená, že přímka procházející bodem X rovnoběžná s vektorem A - B bude přesně ta samá přímka jako ta, která prochází opět bodem X a je rovnoběžná s vektorem B - A.

Zkusím to na příkladě. Mějme body A[1; 2], B[5; 3]. Chceme určit rovnici přímky, která prochází body A a B.

Nejdřív vezmu $u_1 = A - B = (-4; -1)$ , odtud je normálový vektor $n_1 = (1; -4)$ . Rovnice bude mít tvar $x - 4y + c = 0$ , zbývá určit c. Víme, že přímka obsahuje bod A, tedy platí $1 - 8 + c = 0$ , takže musí být $c = 7$ . Celkem je rovnice $x - 4y + 7 = 0$ .

Zkusíme si spočítat nějaké další body, které leží na téhle přímce. Když je x = 0, tak je $-4y + 7 = 0$ , tedy $y = \frac74$ -- tzn. přímka prochází navíc bodem [0; 7/4]. Když je y = 1, tak je $x - 4 + 7 = 0$ , takže $x = -3$ a přímka prochází bodem [-3; 1].

Teďka sestrojím rovnici podle druhého vektoru, tzn. $u_2 = B - A = (4; 1)$ , tzn. normálový vektor je $n_2 = (-1; 4)$ . Odtud je rovnice $-x + 4y - 7 = 0$ . Zase dosadím za x = 0 a dopočítám y: $4y - 7 = 0$ , tzn. $y = \frac74$ a přímka prochází bodem [0; 7/4]. Dosadím za y = 1 a mám $-x + 4 - 7 = 0$ , takže $x = -3$ a přímka prochází bodem [-3; 1].

Jak vidíš, tak obě rovnice -- jak ta vypočítaná se směrovým vektorem A - B, tak ta se směrovým vektorem B - A, dávají stejné body, takže určují stejnou přímku. Dokonce jedna rovnice je násobkem druhé -- když $x - 4y + 7 = 0$ přenásobíš -1, dostaneš $-x + 4y - 7 = 0$ , což je ta druhá rovnice. Ty rovnice jsou tedy ekvivalentní.

Je to takhle z příkladu jasnější?