Matematické Fórum

janickaaa · 13. 12. 2010 09:36

Hojte, jsem uplne zoufala pořád mi to nechce vyjít a proto prosím o pomoc. Při ověření zda se jedná o bilineární formu se mi jedna strana vyruší a pak nevim co dál.. Prosím o pomoc

Rumburak · 13. 12. 2010 12:00

A jak jsi postupovala a kam až ses dostala ?
Vlastnosti funkcionálu B(p,g), které charakterizují reálnou bilineární formu, jsou

B(u + v, w) = B(u, w) + B(v, w) , B(t*u, w) = t*B(u, w) pro libovolné vektory u, v, w a libovolné reálné t ,

včetně zcela obdobných podmínek v druhé proměnné.

Náš funkcionál B je symetrický, proto stačí vyšettřit platnost těchto podmínek jen v jedné proměnné.

janickaaa · 13. 12. 2010 13:21

vlastně jak jsem udělala B (p+q,r) tak mi vyšlo p(1)*r(1)+q(1)*r(1) no a stoho mi ma teda vyjit pr+qr? a je to spravně..?

Rumburak

Podle definice funkcionálu B uvedené v prvním řádku zadání jsou pro všechny uvažované polynomy p, q, r splněny následující 3 rovnice:

(1) B(p,r) = p(0)*r(0) + p(1)*r(1) ,

(2) B(q,r) = q(0)*r(0) + q(1)*r(1) ,

(3) B(p+q,r) = (p + q)(0)*r(0) + (p + q)(1)*r(1) .

Pravou stranu rovnice (3) upravíme pomocí identity (p + q)(x) = p(x) + q(x) , kde nás zajímají případy x = 0 a x = 1. Tím dostaneme

(3') B(p+q,r) = (p(0) + q(0))*r(0) + (p(1) + q(1))*r(1) = p(0)*r(0) + q(0)*r(0) + p(1)*r(1) + q(1)*r(1) .

Záměmou pořadí druhého a třetího členu ve výsledném součtu v (3') dále vyjde

B(p+q,r) = p(0)*r(0) + p(1)*r(1) + q(0)*r(0) + q(1)*r(1) = B(p,r) + B(q,r) .

janickaaa · 13. 12. 2010 15:28

a tu matici vypocitam jak k tomu.. nechci reseni jen bych chtela postup jak jsou souradnice treba B(1,1)=tak tam dosadim p*q? ale jake hodnoty..:(

a jeste k tomu overeni.. staci pouze tohle a to sou alfou atd. tam nemusi byt.?

Rumburak

Nevím dosti spolehlivě,

- co je P_3 (snad prostor polynomů stupně nejvýše 3 ?)
- co máme považovat za standarsní bázi v P_3 (snad seznam S = (1, x, x^2, x^3) lineárně nezávislých polynomů ? ) .

Pokud jsou platné napsané alternativy, pak můžeme psát $S \,=\, (x^k \,; \,k=0,...,3)$ .

Matice $M \,=\, (b_{i,j}\, ; \,i,j=0,...,3)$ je maticí bilieární formy B vzhledem k bázi S, právě když pro libovolné dva polynomy tvarů

(1) $p(x) =\sum_{j=0}^3 p_ix^i$ , $q(x) =\sum_{j=0}^3 p_jx^j$

platí

(2) $B(p,q)= \sum_{i=0}^3\sum_{j=0}^3 b_{i,j}\,\,p_i q_j$ .

Volbou $p(x) = x^m$ , $q(x) = x^n$ dostáváme v (1) $p_i = \delta_{m,i}$ , $q_j = \delta_{n,j}$ (viz Kroneckerovo "delta") a dosazením do (2)

$B(x^m,x^n)= \sum_{i=0}^3\sum_{j=0}^3 b_{i,j}\,\,\delta_{m,i}\, \delta_{n,j} = b_{m,n}$ .

Odtud dále $b_{m,n}=B(x^m,x^n) = 0^m\cdot 0^n\, +\, 1^m\cdot 1^n = \delta_{0,m}\cdot \delta_{0,n}\,+\,1$ (protože 0^0 = 1) .

PS. Abych měl co poradit, tak jsem si to musel napřed sám vyřešit (a tím na to přijít) a tak jsem to sem už rovnou napsal.
Kvadratická forma se z toho sestaví už snadno podle vzorce Q(u) = B(u,u), ale další podrobnosti k tomu nemám teď úplně v pohoovosti
a nerad bych poradil špatně, snad poradí někdo jiný.

janickaaa · 13. 12. 2010 15:38

jj je to P3 nejvyse tridy 3 coz je 1,x,x^2 to vim.. ale stohohle zapisu jak vidim sumy tak sem jeste vetsi kreten..:( ach jo..:(

Rumburak · 13. 12. 2010 15:53

↑ janickaaa:

Bez těch sum to asi nepůjde - matematika už je taková ... :-)
Ale je potřeba si opravdu ujasnit, zda P_3 je prostor polynomů

stupně NEJVÝŠE 3 VČETNĚ - s bází 1,x,x^2,x^3

nebo

stupně MENŠÍHO NEŽ 3 - s bází 1,x,x^2 .

V tom druhém případě by sumy měly horní mez 2 místo 3.

janickaaa · 13. 12. 2010 15:55

noa to x je tedy jake cislo kdyz to chci zapsat do te matice.. ja jen nevim kde vemu ten konec 0*0 + 1*1 to vidim vsude.. proctene toho mam tolik a stimhle si proste nevim rady.:( musim to dneska odevzdat..:( a uz to resim 4. den:( a uz fakt nevim

Rumburak · 13. 12. 2010 16:16

↑ janickaaa:
Ta bil. horma je podle zadání (podívej se hned na první řádek svého obrázku) definována předpisem B(p,q) = p(0)*q(0) + p(1)*q(1) ,

takže když speciálně vezmu například $p(x) = x^2$ , dostanu $p(0) = 0^2 = 0$ , $p(1) = 1^2 = 1$ ,
obdobně pro $q(x) = x^0$ bude $q(0) = 0^0 = 1$ , $q(1) = 1^0 = 1$ ,

celkem pro tyto konkretní polynomy bude B(p,q) = p(0)*q(0) + p(1)*q(1) = 0*1 + 1*1 = 1 , což je hodnota prvku $b_{2,0}$ v té matici.

Ta matice už nemá s proměnnou x nic společného, tím maticovým vyjádřením jsme se dostali "o patro výše", takže to vidíme z jakéhosi nadhledu,
podobně jako řidič auta se při jízdě už nestará o to, na jakém principu funguje motor.

janickaaa · 13. 12. 2010 16:45

takže matice bude vypadat
1 1 1
1 1 1
1 1 2 ?? a ten dukaz staci ten co tam je ten jeden nemusi byt ta alfa?

Rumburak

↑ janickaaa:
V příspěvku ↑ Rumburak: se o hledané matici $M \,=\, (b_{i,j}\, ; \,i,j=0,...,3)$ píše

$b_{m,n}=B(x^m,x^n) = 0^m\cdot 0^n\, +\, 1^m\cdot 1^n = \delta_{0,m}\cdot \delta_{0,n}\,+\,1$ ,

tedy jde o matici

2, 1, 1, 1
1, 1, 1, 1
1, 1, 1, 1
1, 1, 1, 1

případně

2, 1, 1
1, 1, 1
1, 1, 1

podle toho, co je to P_3 (viz jeden z mých předchozích příspěvků) .

Další věcí je, jak oindexujeme (setřídíme) tu bázi. Důležitou roli tu hraje pozice polynomu 1 (=x^0) . Já jsem ho zařadil na první posici
(s indexem 0) , proto mi to vyšlo takto. Pokud bychom polynom 1 zařadili naopak na poslední místo, pak by byl správný Tvůj výsledek.

Tomuto dotazu

janickaaa napsal(a):
a ten dukaz staci ten co tam je ten jeden nemusi byt ta alfa?

ale bohužel vůbec nerozumím :-( . O žádné "alfě" tu nepadla zmínka, netuším, co tím myslíš. Možná se odvoláváš na nějaký jiný
postup důkazu někde jinde, ten postup jsem ale neviděl a nemohu ho posuzovat a rovněž nevím, jakou roli v něm hraje proměnná alfa,
každý si může zvolit proměnné v podstatě jak chce.

EDIT.
Už asi chápu, ptáš se možná na důkaz homogenity, tj. vztahu B(t*p, r) = t*B(p, r) pro každé reál. t a libovolné polynpomy p, r z P_3 .
Tento vztah je uveden v příspěvku ↑ Rumburak:, ale v příspěvku ↑ Rumburak: dokazován není - snažil jsem se tam jen vysvětlit tu aditivitu,
na kterou ses před tím ptala. Samozřejmě, že i homogenitu je nutno dokázat:

B(t*p, r) = (t*p(1)) * r(1) + (t*p(0)) * r(0) = t*p(1)*r(1) + t*p(0)*r(0) = t*(p(1)*r(1) + p(0)*r(0)) = t*B(p,r) .

Doporučuji podívat se do nějakých kvalitních studijních materiálů a podrobně si látku projít od úplných začátků, jedině tak je možno VŠ
matematiku úspěšně zvládat.

Matematické Fórum

#1 13. 12. 2010 09:36

Bilineární forma

#2 13. 12. 2010 12:00

Re: Bilineární forma

#3 13. 12. 2010 13:21

Re: Bilineární forma

#4 13. 12. 2010 13:55 — Editoval Rumburak (13. 12. 2010 13:55)

Re: Bilineární forma

#5 13. 12. 2010 15:28

Re: Bilineární forma

#6 13. 12. 2010 15:31 — Editoval Rumburak (13. 12. 2010 15:56)

Re: Bilineární forma

#7 13. 12. 2010 15:38

Re: Bilineární forma

#8 13. 12. 2010 15:53

Re: Bilineární forma

#9 13. 12. 2010 15:55

Re: Bilineární forma

#10 13. 12. 2010 16:16

Re: Bilineární forma

#11 13. 12. 2010 16:45

Re: Bilineární forma

#12 14. 12. 2010 10:10 — Editoval Rumburak (14. 12. 2010 11:57)

Re: Bilineární forma

janickaaa napsal(a):

Zápatí