Matematické Fórum

seeder · 17. 12. 2010 16:19

Zdravím,

Řeším problém, mám nádobu s dokonale hladkým povrchem a poloměrem r = 5, v níž je hmotný bod o hmotnosti 4kg spuštěn z jednoho kraje nádoby. 1.) Jakou rychlost bude mít hmotný bod na dně nádoby? 2.) Jaké souřadnice bude mít hmotný bod v čase t = 0.5 ? Nádoba je umístěna středem krivosti uprostřed kartézské soustavy. Díky za pomoc.

Pavel Brožek

Měl bys trochu líp popsat tu misku a uvést jednotky.

Edit: Než upřesníš zadání, tak odhaduji, že na 1) použiješ zákon zachování energie a 2) nevyřešíš, protože dostaneš složitou diferenciální rovnici. Ale dokud neupřesníš zadání, tak je to jen můj odhad.

seeder · 17. 12. 2010 17:10

↑ BrozekP:

Miska je půlkruh s poloměrem r = 5m. Co víc upřesnit?

Pavel Brožek · 17. 12. 2010 17:16

↑ seeder:

Takže je to půlka kulové plochy. (Mohla to být třeba menší část, proto se ptám.) Na 1) tedy použij zákon zachování energie.

Ještě jsi nenapsal jednotku u času. Je to v sekundách? Periodách? Půlperiodách? Něčem úplně jiném?

seeder · 17. 12. 2010 17:26

↑ BrozekP:

Ano půlka kulové plochy, a čas je v sekundách. Mohl bys prosím do toho zákona dosadit?

Pavel Brožek · 17. 12. 2010 17:30

↑ seeder:

Mohl, ale to bys spíš měl ty, aby ses to naučil :-).

Porovnej součet kinetické a potenciální energie ve dvou časech. Musí být stejný.

seeder · 17. 12. 2010 17:44

↑ BrozekP:

Já bych rád, ale bohužel nevím jak správně dosadit...

Pavel Brožek · 17. 12. 2010 17:56

↑ seeder:

Čemu se rovná kinetická energie? Čemu se rovná potenciální energie?

seeder · 17. 12. 2010 18:03

↑ BrozekP:

Ep = mgh
Ek = 1/2mv^2

Ale nějak pořád nevím tu rychlost :)

Pavel Brožek · 17. 12. 2010 18:04

↑ seeder:

Jaká je rychlost na začátku pohybu?

V okamžiku, kdy je bod nejníže, ji samozřemě neznáme – chceme ji spočítat.

seeder · 17. 12. 2010 18:12

↑ BrozekP:

Aha :) Takže dosadím h = r, spočítám Ep, dosadím, chápu.....šlo by to řešit i jinak? Třeba přes pohybové rovnice?

mikl3 · 17. 12. 2010 18:31

to tady každý počítá misku? s těmi miskami se v poslední době roztrhl pytel, jedna taková úloha je ve fyzikální olmypiádě kat. B, tak kdyby náhodou...

seeder · 17. 12. 2010 18:36 — Editoval seeder (17. 12. 2010 19:14)

↑ mikl3:

Je to pořád jedna a ta samá.....ale teď k tomu počítám něco jiného.... takže potřebuji poradit s tímhle.

Takže potřebuji ještě vypočítat ten druhý bod, čili polohu bodu v závislosti na čase. Pokud někdo víte jak na to, budu vděčnej ;-)

Pavel Brožek · 18. 12. 2010 03:05

↑ seeder:

Ono je problém, že pohybové rovnice jsou trochu komplikované :-). Konkrétně pohybová rovnice vypadá takto:

$\ddot\varphi=\frac{g}{r}\cos\varphi$ ,

kde $\varphi=\arctan$-\frac{y}x$$ . Pokud vím, tak se nedá řešit jinak než numericky.

seeder · 18. 12. 2010 10:14

↑ BrozekP:

Ještě se zeptám, jak by se ta rychlost řešila v případě, že by tam bylo tření? Sočinitel tření například 0.1

Pavel Brožek · 18. 12. 2010 11:47

↑ seeder:

Odhaduji, že jedině numericky, ale nezkoušel jsem to. Musely by se sestavit jiné pohybové rovnice.

seeder · 18. 12. 2010 12:29

↑ BrozekP:

A můžeme to zkusit prosím? Já to dohromady nedám...

Pavel Brožek

↑ seeder:

Zkouším to, ale nějak se mi nedaří. Dostal jsem se k diferenciální rovnici

$\ddot\varphi=\frac{g}{r}\cos\varphi-f\cdot\mathrm{sign}(\dot\varphi)\,$\frac{g}{r}\sin\varphi+\dot\varphi^2$$ .

Ale když si to dám numericky řešit, tak se to v nějakou chvíli zblázní a vystřelí do nekonečna.

Edit: Je to způsobeno tím, že jsem nepočítal se statickým třením. V určitém okamžiku by se hmotný bod zastavil a zůstal stát (ne nutně na dně misky). To už se hůře popisuje.

seeder · 19. 12. 2010 02:10

↑ BrozekP:

A jak by se spočítalo v tomhle příkladu zrychlení?

Pavel Brožek

↑ seeder:

V nějakém obecném bodě dráhy si vyznačíš všechny síly, které na bod působí. To budou gravitační, normálová (od misky působící na bod) a třecí. Uděláš průměty těchto sil do tečného a normálového směru pohybu (tady to tedy stačí provést pro gravitační sílu). Součet normálových složek musí odpovídat dostředivé síle. Součet tečných složek pak způsobuje zrychlení/zpomalení pohybu. Tento součet tečných složek tedy dosadíš do pohybové rovnice $ma=F$ , kde a je zrychlení brané tak, že dráha se počítá po povrchu misky.

seeder · 19. 12. 2010 12:17 — Editoval seeder (19. 12. 2010 12:18)

↑ BrozekP:čili zjednodušeně zrychlení se v mém případě = síle F, čili v podstatě jen složce síly G↑ BrozekP:

Čili, vezmu-li vše v čase t = 1 (téměř u kraje misky). N tu bude minimání, F se bude rovnat téměř síle G. Můžu tedy napsat G = ma , tedy g = a -> gt = v takže rychlost i zrychlení by měli být v tomto čase stejné. Což samozřejmě nejsou....kde dělám chybu?

zdenek1 · 19. 12. 2010 12:44

↑ seeder:
Tak mě BrozekP předběhl, ale když jsem se s tím kreslil, tak to sem dám.

Na těleso působí tíhová síla a reakce misky. Pro určení tečného zrychlení nám stačí tíha. Její složka ve směru tečny je $G\sin\varphi$ , platí tedy
$G\sin\varphi=ma_t$
$a_t=g\sin\varphi$ (1)
Tím jsi určil tečné zrychlení jako funkci úhlu.
Nyní určíš dostředivé zrychlení $a_d=\frac{v^2}r$
Ze ZZE máš $mgr\cos\varphi=\frac12mv^2\ \Rightarrow\ v^2=2gr\cos\varphi$
a
$a_d=2g\cos\varphi$
velikost celkového zrychlení je pak
$a=\sqrt{a_t^2+a_d^2}=g\sqrt{\sin^2\varphi+4\cos^2\varphi}=g\sqrt{1+3\cos^2\varphi}$
Tak dostaneš zrychlení jako funkci úhlu (a snadno převedeš na funkci dráhy pomocí vztahu $s=\varphi r$ ).

Jenže to podle předchozích příspěvků není asi to chceš. Ty to chceš jako funkci času. Jenže se dostaneš do stejných problémů s řešením diferenciální rovnice jako včera.
Např. se vrátíme k rovnici (1), ale přejdeme k úhlovým veličinám, speciálně k úhlovému zrachlení $\ddot\varphi=\frac{a_t}r$ .

Rovnice pak bude
$\ddot\varphi=-\frac gr\sin\varphi$

tady ji řeší Wolfram pro $r=5cm$ a $g=10\,\mbox{m/s}^2$ , ale nevím jestli z toho budeš moudrý.

Pavel Brožek · 19. 12. 2010 13:21

Jen abych vysvětlil rozdílnost mé ↑ BrozekP: a Zdeňkovy rovnice – já jsem zavedl jinak úhel $\varphi$ , konkrétně $\varphi_{\mathrm{Zdenkuv}}=\varphi_{\mathrm{muj}}-\frac\pi2$ .

seeder · 19. 12. 2010 15:59

↑ BrozekP:

Díky, ještě se zeptám, šla by v tomto případě spočítat práce výsledné síly F?

Matematické Fórum

#1 17. 12. 2010 16:19

Pohyb v misce

#2 17. 12. 2010 16:57 — Editoval BrozekP (17. 12. 2010 16:59)

Re: Pohyb v misce

#3 17. 12. 2010 17:10

Re: Pohyb v misce

#4 17. 12. 2010 17:16

Re: Pohyb v misce

#5 17. 12. 2010 17:26

Re: Pohyb v misce

#6 17. 12. 2010 17:30

Re: Pohyb v misce

#7 17. 12. 2010 17:44

Re: Pohyb v misce

#8 17. 12. 2010 17:56

Re: Pohyb v misce

#9 17. 12. 2010 18:03

Re: Pohyb v misce

#10 17. 12. 2010 18:04

Re: Pohyb v misce

#11 17. 12. 2010 18:12

Re: Pohyb v misce

#12 17. 12. 2010 18:31

Re: Pohyb v misce

#13 17. 12. 2010 18:36 — Editoval seeder (17. 12. 2010 19:14)

Re: Pohyb v misce

#14 18. 12. 2010 03:05

Re: Pohyb v misce

#15 18. 12. 2010 10:14

Re: Pohyb v misce

#16 18. 12. 2010 11:47

Re: Pohyb v misce

#17 18. 12. 2010 12:29

Re: Pohyb v misce

#18 18. 12. 2010 14:25 — Editoval BrozekP (18. 12. 2010 15:16)

Re: Pohyb v misce

#19 19. 12. 2010 02:10

Re: Pohyb v misce

#20 19. 12. 2010 10:58 — Editoval BrozekP (19. 12. 2010 11:01)

Re: Pohyb v misce

#21 19. 12. 2010 12:17 — Editoval seeder (19. 12. 2010 12:18)

Re: Pohyb v misce

#22 19. 12. 2010 12:44

Re: Pohyb v misce

#23 19. 12. 2010 13:21

Re: Pohyb v misce

#24 19. 12. 2010 15:59

Re: Pohyb v misce

Zápatí