Matematické Fórum

Voojta · 08. 12. 2010 19:46

Ahoj mám tady tři příklady.
8 a 9 by měly být správně, potřeboval bych je jen zkontrolovat, ale s příkladem č. 7 si vážne nevím rady. Vím že jádro má vyjít [-1,3,-1], ale něco dělám špatně :(
Předem děkuji za rady

Olin · 09. 12. 2010 00:04

V té sedmičce je chyba snad jen v závěrečné úpravě:

$[1, 1, -1] - [1, -1, 1] + [-1, 1, 1] = [-1, 3, -1]$ .

Voojta · 09. 12. 2010 13:06

Takže osmička a devítka jsou správně?
Tu sedmičku jsem opravil a přidal výpočet oboru hodnot, ale vychází mi to něják podivně :(

Olin · 09. 12. 2010 13:32

Na osmičku a devítku jsem se ještě nedíval.

Postupu u určení oboru hodnot příliš nerozumím. Hledáš pro daný vektor $[y_1, y_2]$ všechny vektory, které se na něj mohly zobrazit? Každopádně ve výpočtu $\alpha_1$ je chyba, pod řádkem

$2 \alpha_1 + 2 \alpha_2 = y_1$

má být

$2 \alpha_1 = y_1 - \boxed{2} $\frac 16 y_1 - \frac 13 y_2 - t $$ .

Obor hodnot lze ale určit jednoduše takto: jelikož je v oboru hodnot $[2, 1]$ i $[2, -2]$ , bude tam (z linearity A) i jejich každá lineární kombinace, ovšem protože tyto dva vektory tvoří bázi $\mathbb{R}^2$ , je oborem hodnot celý tento prostor.

Voojta · 09. 12. 2010 14:43

Aha - to jsem přehlídnul. Nicméně když to upravím vyjde mi: $\alpha_1 = \frac 26 y_1 + \frac 13 y_2 + t$

Když to dosadím do toho vzorce, tak mi výsledek výjde: $[\frac 12 y_1 - t , \frac 16 y_1 + \frac 23 y_2 + 3t , - \frac 16 y_1 - \frac 23 y_2 - t]$

Ale už nevím co s tím dál. Postupuju podle zde řešeného příkladu (zhruba na třetí stránce) ale strašně mne mate to, že tam řeší zobrazení $R^3 -> R^3$ kdežto já mám $R^3 -> R^2$ a nevím si s tím rady.

Olin · 09. 12. 2010 23:49

Nicméně lze z výpočtů říct, že soustava daná maticí

má řešení pro každé $y_1,\, y_2 \in \mathbb{R}$ , ne? Tedy pro každý vektor $[y_1,\, y_2] \in \mathbb{R}^2$ existují nějaká čísla $\alpha_1,\, \alpha_2,\, \alpha_3 \in \mathbb{R}$ taková, že

$A $ \alpha_1[1, 1, -1] + \alpha_2[1, -1, 1] + \alpha_3[-1, 1, 1] $ = [y_1,\, y_2]$ ,

tedy každý prvek z $\mathbb{R}^2$ má nějaký vzor v A - oborem hodnot je tedy celé $\mathbb{R}^2$ .

U příkladů tohoto typu lze argumentovat i ještě jinak. Jelikož vektory, jejichž obrazy v A máme zadané, tvoří bázi $\mathbb{R}^3$ , musí obrazy těchto vektorů generovat obor hodnot zobrazení. Hledaný obor hodnot je tedy $\left\langle [2,1],\, [2,-2],\, [0,-3] \right\rangle$ (přičemž by asi ještě bylo vhodné říct, že tento lineární obal je zase jen $\mathbb{R}^2$ ).