Matematické Fórum

323Stevo · 19. 12. 2010 21:29

Reste rovnici v oboru komplexnch csel
x^4 + 1 = 0 :
Vysledek vyjadrete v algebraickem tvaru.

teolog · 19. 12. 2010 22:19

↑ 323Stevo:
Je pravda, že dnešní forma běžné elektronické komunikace nemá takřka žádná pravidla. Nicméně přesto není špatné držet se léta osvědčených postupů, jako je pozdravit, poprosit, poděkovat apodobně. A ne jen tak vyštěknout nějaký příklad formulovaný v rozkazovacím způsobu.

PeetPb · 19. 12. 2010 22:23

↑ 323Stevo:zdravim, suhlasim s kolegom teologom avsak k problemu myslim ze vysledok bude sqrt(i) .

Kondr · 19. 12. 2010 22:52

↑ PeetPb: Ano, bude to jeden ze čtyř výsledků.

323Stevo · 19. 12. 2010 23:18

Myslim ze niesom prvy ani posledny ... ano uvedomujem si ze sa to patri avsak obcas sa na to zabudne dakujem za upozornenie...
Chcel by som poprosit o nejaky postup pri vypocte dakujem.

teolog · 19. 12. 2010 23:50

↑ 323Stevo:
První rozhodně nejste, bohužel, ani poslední. To máte pravdu. No nic, tak snad se poučíte.

K té rovnici. Já osobně bych si zavedl substituci x^2=a, tudíž bych dostal rovnici ve tvaru a^2+1=0.
A které číslo po umocnění na druhou dává -1? Jedině i a -i.
Takže máme spočítané a. Nyní dosaďme a do substituce a dostaneme x^2=i a x^2=-i.
Výsledkem jsou celkem čtyři řešení: $\sqr{i}$ $-\sqr{i}$ $\sqr{-i}$ $-\sqr{-i}$ .

Kondr · 20. 12. 2010 00:13

↑ teolog: To je dobré, když jsme ochotni přemýšlet. Pokud ne, odečteme jedničku a dosadíme do vzorce: http://cs.wikipedia.org/wiki/Binomick%C3%A1_rovnice

Olin · 20. 12. 2010 00:14

↑ teolog:
Raději bych byl poněkud opatrnější v používání odmocniny, jelikož tento symbol se chová v komplexních číslech dost chameleonsky - většinou odmocnina nereprezentuje číslo, ale celou množinu čísel, např. jako $\sqrt{4} = \{2,\, -2\}$ . Při takovéto interpretaci tedy symboly $\sqrt{i}$ a $- \sqrt{i}$ reprezentují tutéž množinu, a to komplexní čísla, jejichž druhou mocninou je imaginární jednotka. Vzhledem k tomu bych řešení rovnice $a^2 = i$ raději vyjádřil přímo, nejspíš v algebraickém tvaru ( $a = \pm \frac{1+i}{\sqrt{2}}$ ).

teolog · 20. 12. 2010 00:15 — Editoval teolog (20. 12. 2010 00:18)

↑ Kondr:
To je celkem vtipné; já jsem věděl, že je nějaká rychlejší cesta, ale nechtělo se mi přemýšlet a vzpomínat. Tak jsem použil to, co mne napadlo jako první.

↑ Olin:
Díky za upozornění, já jsem trochu tušil určitou slabinu v té odmocnině, ale jak jsem psal výše, nebyl jsem schopen nadhodit klasické řešení, které se jinak nabízí.

323Stevo · 20. 12. 2010 14:19

↑ Kondr: Ten vzorec je celkom dobra vec ale neviem co dosadim v zatvorkach za sinusom a cosinusom...prosim da sa ukazat aspon prvy krok.

jarrro · 20. 12. 2010 14:50

↑ 323Stevo: $n=4\nl\alpha=\pi$

323Stevo · 20. 12. 2010 15:02

↑ jarrro: k=0,1,2,3 ?

jarrro · 20. 12. 2010 15:17

↑ 323Stevo:áno každé k dá jedno riešenie

323Stevo · 20. 12. 2010 15:58

Aj tak som z toho stale mimo

stenly · 20. 12. 2010 16:53 — Editoval stenly (20. 12. 2010 16:55)

↑ 323Stevo:Řeš x^4=-1 jako binomickou rovnici,kde( -1) si vyjádříš jako (cos pí+i*sin pí).V oboru komplexních čísel má tato rovnice právě 4 kořeny ,a to Xk=cos(alfa+2kpí)/4+i*sin(alfa+2kpí)/4),kde k={0,1,2,3},kde alfa´=pí.

Dioxid

Jak přijít na alfu:
Pro alfu platí: $a=\left | a \right | (cos\alpha +i\cdot sin \alpha )$
Jestliže to a zapíšeme jako $a=b+ci$ , tak jeho absolutní hodnota je $\left | a \right |=\sqrt{b^2+c^2}$
Pro alfu potom platí: $cos \alpha =\frac{b}{\left | a \right |}$ a $sin \alpha =\frac{c}{\left | a \right |}$
(zkus si to dosadit do toho prvního tvaru)

323Stevo · 20. 12. 2010 18:17

↑ stenly: X_0 =cos(pi)/4+i*sin(pi)/4) tak ?

Dioxid · 20. 12. 2010 19:17

↑ 323Stevo: Ano, je to správně

323Stevo · 20. 12. 2010 19:33

↑ TomDlask: Ale vysledok bude trochu divoky potom nie ? ... ako vide $\sqr{i}$ ?

Dioxid

Jestli hledáš nějaký "hezčí" formát, tak Wolfram poradí $\frac{1+i}{\sqrt[]{2}}$

zdenek1 · 20. 12. 2010 21:05

↑ 323Stevo:
Malý trik
$(1+i)^2=2i$
takže
$i=\frac{(1+i)^2}2$

a pak formálně (ten symbol odmocniny skutečně není vhodný - jak psal Olin)

$sqrt i=\pm\frac{1+i}{\sqrt2}$