Matematické Fórum

kotry · 13. 12. 2010 21:49 — Editoval kotry (13. 12. 2010 22:11)

Zdravím, mám problém s jedním příkladem... nemůžu přijít na ty proudy

i(-0)=U/R1

i(v nekon.)= U/(R1+(R2R3/R2+R3))

i( v čase t)= ??????

je to dobře?

nevěděl by někdo ?

medvidek · 14. 12. 2010 21:32

↑ kotry:

a) i(-0)
$i(-0)=\frac U R_1$ je správně.
Před rozepnutím spínače je proud tekoucí indukčností stejný jako proud tekoucí zdrojem.

b) i(oo)
Zde už není jedno, zda vypočítáme proud tekoucí zdrojem, nebo proud tekoucí indukčností. To, co jsi vypočítal, je proud tekoucí zdrojem. Proud tekoucí indukčností by měl být
$i(\infty)=\frac{U}{R_1+\frac{R_1R_2}{R_3} +R_2}$ .

c) i(t)
Doporučuji nejdřív levou část obvodu (U0, R1, R3) zjednodušit podle Théveninova teorému

Další postup pak znamená řešit standardní sériový RL obvod s počáteční podmínkou, kterou už známe z bodu a).
Ve standardním RL obvodu bude
$R=R_T+R_2$ ,
$U=U_T$ .

kotry · 19. 12. 2010 13:32 — Editoval kotry (19. 12. 2010 13:44)

když znám

i(0-)
u(0-)
i(nek)
u(nek)
u(Tau)
Tau

jak by teda byl ten proud v čase t ???

medvidek · 20. 12. 2010 15:38

↑ kotry:
V sériovém obvodu RL platí:
$U_L(t)+U_R(t)=U$
Po dosazení z definičních vztahů pro indukci a odpor:
$L \frac{\mathrm d i(t)}{\mathrm d t}+Ri(t)=U$
Obecné řešení této dif. rovnice:
$i(t)=A \cdot e^{- \frac RL t}+ \frac UR$ ,
kde konstantu $A$ zjistíme z počáteční podmíky pro $i(0)$ :
$i(0)=A+\frac UR= \ \cdots$
Jak už jsem psal dřív, za R a U je třeba dosadit
$R=R_T+R_2$ ,
$U=U_T$ .

Poznámka:
Jak je vidět, stačí ti znát hodnotu i(0-). Ty ostatní (i(nek), u(nek, atd.) jsou obsaženy v řešení dif. rovnice.

kotry · 21. 12. 2010 00:02

je ten proud takhle dobře?

i(t)= - (U/(R1+R2))e^(-tR/L) + U/(R1+R2)

medvidek · 21. 12. 2010 07:04

↑ kotry:
Ne, pro t=0 ani pro t=oo to nedává správné hodnoty.

Do vztahu $i(t)=A \cdot e^{- \frac RL t}+ \frac UR$ postupně dosaď
za $A=i(0)-\frac UR$ ,
za $R=R_T+R_2$ ,
za $U=U_T$
a nakonec za $U_T$ a $R_T$ to, co jsi vypočítal jako Théveninovu ekvivalentní substituci.

Umíš vypočítat $U_T$ a $R_T$ ?

Výsledek by měl být
$i(t)=\left( i(0)-i(\infty) \right) \cdot e^{-\frac t \tau} + i(\infty)$ ,
kde
$\tau=\frac{L(R_1+R_3)}{R_1R_2+R_2R_3+R_3R_1}$ ,
$i(0)=\frac U R_1$ ,
$i(\infty)=\frac{U}{R_1+\frac{R_1R_2}{R_3} +R_2}$ .

kotry · 21. 12. 2010 16:08

↑ medvidek:

Thevenin:

I2= Ut/(Rt+R2) PROUD přes R2 a L

I1=U/(R1+R3) PROUD náhradního obvodu (tedy bez větve R2,L)

Ut=U3=R3*I1 Napětí na R3

Rt=(R1*R3)/(R1+R3) ODPOR náhradního obvodu- tam kde byla původně větev R2,L

Ut=I2*(Rt+R2) napětí na: R2, L

i(t)= i(0)+i(00)

i(t)= (U/R1 - U/(R1+(R1*R2)/R3+R2) ) * e^(-t/tau) + U/(R1+(R1*R2)/R3+R2) )

takhle je to už dobře ??
doufam že je to alespoň drobet srozumitelný...

medvidek

↑ kotry:
Chvíli mi trvalo pochopit ty slovní popisy, ale nakonec mohu souhlasit.

Všechny vztahy jsou dobře až na tento i(t)= i(0)+i(00). Vlevo je proměnná, vpravo konstanta. Nejjednodušší je ho vynechat.
Jinak rozdíl i(0)-i(00) bychom mohli nazvat celkový úbytek proudu i(t) v důsledku přechodového děje.

$\tau$ je relaxační (nebo také charakteristická) doba přechodového děje (obecně jakéhokoli exponenciálního procesu). Je to doba, během které dojde k většině změn proudů a napětí (až na 1/e-tou část celkové změny).

EDIT:
Oprava: místo o rozdílu i(0)-i(00) jsem výše psal o součtu.

kotry · 21. 12. 2010 19:30

jj, omlouvám se, pospíchal jsem a nebyl čas to nakreslit a popsat...

ještě když bych to počítal pro konkrétní hodnoty, co bych dosadil za t ? ( e^(-t/tau) )
tau je konstanta ale co disadit za t netušim

medvidek

↑ kotry:
Výsledek platí pro všechna $t \in <0;\infty>$ .

Proměnná $t$ patří do výsledku tak jak je. Pro t=0 vychází velikost proudu na začátku děje, v limitě t=oo vychází velikost proudu na konci děje, například pro t=5 dostaneme velikost proudu na konci páté sekundy.

EDIT:
Závislost $i(t)$ pak můžeš vynést do grafu.

kotry · 21. 12. 2010 20:57

díky moc
hlavně za trpělivost ;-)

medvidek · 21. 12. 2010 21:08

Opravil jsem příspěvek #8 ↑ medvidek:

↑ kotry:
Rád jsem pomohl.

Matematické Fórum

#1 13. 12. 2010 21:49 — Editoval kotry (13. 12. 2010 22:11)

Přechodový děj

#2 14. 12. 2010 21:32

Re: Přechodový děj

#3 19. 12. 2010 13:32 — Editoval kotry (19. 12. 2010 13:44)

Re: Přechodový děj

#4 20. 12. 2010 15:38

Re: Přechodový děj

#5 21. 12. 2010 00:02

Re: Přechodový děj

#6 21. 12. 2010 07:04

Re: Přechodový děj

#7 21. 12. 2010 16:08

Re: Přechodový děj

#8 21. 12. 2010 19:09 — Editoval medvidek (21. 12. 2010 21:03)

Re: Přechodový děj

#9 21. 12. 2010 19:30

Re: Přechodový děj

#10 21. 12. 2010 19:46 — Editoval medvidek (21. 12. 2010 19:48)

Re: Přechodový děj

#11 21. 12. 2010 20:57

Re: Přechodový děj

#12 21. 12. 2010 21:08

Re: Přechodový děj

Zápatí