Matematické Fórum

BakyX · 23. 12. 2010 21:01 — Editoval BakyX (23. 12. 2010 21:02)

Ahojte..Mám v rovine 2 body. Ja mám skonštruovať tretí bod - respektíve množinu bodov, aby vzdialenosti tohto bodu k tým dvom daným boli v pomere 1:2. Prosím, poraďte nejaký hintík..Ďakujem

Lobacho

Dané dva body AB. Co tak úsečku AB rozdělit na tři stejné části a v jedné třetině vést kolmou přímku k AB. Vždyť osa úsečky je množina bodů, jež je od dvou bodů stejně vzdálena. Tak tady by to bylo v poměru 1:2

Pozn.: Teď mě napadlo, že by se to dalo dokázat skrze podobnost trojúhelníků, ale nějak mi to nejde takže to asi nebude ono.

BakyX · 23. 12. 2010 21:55

Myslím, že takto to nepôjde..Hľadaná množina je kružnica, len neviem, ako nájsť jej stred.

Anonymystik

viz tzv. Appolloniova kružnice. Existuje jak čistě geometrický důkaz, tak důkaz přes analytickou geometrii, že se jedná o kružnici. Když si dané dva prvotní body označím AB, tak na přímce AB existují dva různé body C takové, že AC/BC = 1/2. Ze symetrie je zřejmé, že pokud bod X, náležící hledané množině, leží v jedné polorovině vymezenou přímkou AB, pak bude existovat symetricky združený bod X´ podle osy AB. Proto odtud plyne, že pokud ony dva body C označím jako C1 a C2, tak úsečka C1, C2 bude průměrem hledané kružnice. Střed hledané kružnice bude i středem úsečky C1C2.

Mikulas · 23. 12. 2010 22:24

Dobrý večer!
Nesouhlasím s řešením kolegy Lobacho.
Použil jsem GeoGebru a zjistil jsem, že hledaná množina je kružnice.
V jednom krajním bodě úsečky je střed kružnice s poloměrem r.
Ve druhém je střed kružnice s poloměrem 2r.
Ty dvě kružnice buď společný bod, nebo mají přesně jeden a nebo 2.
Řešením jsou pro každé r dva body ležící na kružnici s poloměrem r.

BakyX · 23. 12. 2010 22:40

↑ Anonymystik:
↑ Mikulas:

Ďakujem..A ako to zovšeobecniť na pomer x:y ?

Mikulas · 23. 12. 2010 22:59

U mně stačí nahradit r xr a 2r yr.

Anonymystik · 23. 12. 2010 23:01

↑ BakyX: Appolloniovy kružnice zmíněný problém řeší obecně.

Dioxid · 24. 12. 2010 14:41

Není jednodušší nalézt pár bodů (tak 3), pro které platí, že jsou ve správném poměru vzdáleny a poté narýsovat kružnici, která jimi prochází?

BakyX · 24. 12. 2010 14:57

↑ Mikulas:↑ Anonymystik:

Celkom nerozumiem ako takúto kružnicu zostrojiť. Môžete to napísať formou konštrukčného postupu pre body A, B a ich vzdialenosť ?

Mikulas · 24. 12. 2010 15:29

Napíšu, jak sestrojit kružnici l pro poměr 1:2.
1. úsečka AB
2. kružnice k, k (A, |AB|/3)
3. S, S je průnik AB a k
4. l, l (S, 2|AB|/3)

Pak ještě existuje druhá kružnice, která je jakoby na druhé straně. V předchozím zápisu stačí nahradit ve druhém kroku bod A bodem B.

Dioxid · 24. 12. 2010 15:50

Tak jestli jsou tedy tou hledanou množinou bodů kružnice dvě, tak je můj postup výše nesprávný.

Mikulas · 24. 12. 2010 15:57

↑ TomDlask:
Už to tak vypadá.

teolog · 24. 12. 2010 16:44

Já to pro poměr 1:2 řešil analyticky:

$A=[a,b]$
$B=[c,d]$
$X=[x,y]$

$2|AX|=|BX|$
Po dosazení vzroce pro vzdálenost dvou bodů a několik úpravách vyleze rovnice kružnice:

$\left(x-\frac{a-c}{3}\right)^2+\left(y-\frac{b-d}{3}\right)^2=\frac19\left(-11a^2-2ac-11b^2-2bd+4c^2+4d^2\right)$

Tedy hledaná kružnice má střed $S=\left[\frac{a-c}{3};\frac{b-d}{3}\right]$ a poloměr $r=\frac13\sqrt{-11a^2-2ac-11b^2-2bd+4c^2+4d^2}$

Ale moc nerozumím tomu, proč ty kružnice měly být dvě.